Handout Bab 9: Metode Perturbasi

METODE PERTURBASI

Metode perturbasi =

= metode gangguan metode Simpangan.

Jika seandainya ada sistem dengan Hamiltonian bebas waktu H dan kita tidak mungkin menyelesaikan secara eksak persamaan Schrodinger

Hψ_n = E_nψ_n (9-1)

H hanya berbeda sedikit dengan operator Hamilton H⁰ dari suatu sistem yang persamaan Schrodinger-nya yaitu:

H⁰ψ_n⁽⁰⁾ = E_n⁽⁰⁾ψ_n⁽⁰⁾ (9-2)

maka sistem dengan H disebut sistem terperturbasi sedang sistem dengan H⁰ disebut sistem takterperturbasi.

Contoh:

Sistem perturbasi sebagai sistem osilator takharmonis yang H nya

H = -(ℏ²/2m)(d²/dx²) + (1/2)kx² + cx³ + dx⁴ (9-3)

Hamiltonian (9-3) tidak berbeda jauh dengan Hamiltonian dari sistem osilator harmonis

H⁰ = -(ℏ²/2m)(d²/dx²) + (1/2)kx² (9-4)

Jika tetapan c dan d pada (9-3) itu kecil, maka diperkirakan bahwa fungsi dan nilai eigen dari osilator takharmonis tidak terlalu jauh dengan yang harmonis.

Jika perbedaan antara H dan H⁰ kita sebut H'. Perbedaan Hamiltonian ini kita sebut perturbasi. Perturbasi didefinisikan dengan:

H' = H - H⁰ (9-5a)

jadi

H = H⁰ + H' (9-5b)

Untuk contoh osilator takharmonis dengan Hamiltonian (9-3), perturbasinya dikaitkan dengan osilator harmonis adalah

H' = cx³ + dx⁴ (9-6)

Parameter λ

Bagaimana fungsi dan nilai eigen dari sistem yang terperturbasi (yang tidak diketahui) dinyatakan dalam fungsi dan nilai eigen sistem yang takterperturbasi (yang dapat diketahui)?

Secara matematika, caranya dengan memasukkan parameter λ kedalam Hamiltonian dalam bentuk relasi sebagai berikut

H = H⁰ + λH' (9-7)

• Jika λ meningkat, maka perturbasi tumbuh semakin besar,
• Jika λ = nol, maka sistem takterperturbasi.
• Jika λ = 1, maka perturbasi aktif secara penuh (fully turned on).

^ Ke Atas

Teori Perturbasi Nondegenerate

Jikan ψ_n⁽⁰⁾ adalah fungsi gelombang sebuah partikel takterperturbasi nondegenerate dengan energi E_n⁽⁰⁾

jika ψ_n adalah fungsi gelombang terperturbasi menjadi ψ_n⁽⁰⁾, maka untuk sistem terperturbasi, persamaan Schrodinger-nya adalah

Hψ_n = (H⁰ + λH') ψ_n = E_n ψ_n (9-8)

Karena Hamiltonian (9-8) bergantung pada parameter λ, maka ψ_n dan E_n merupakan fungsi λ.

Jadi

ψ_n = ψ_n(λ, q) dan E_n = E_n(λ) q = koordinat sistem.

Ekspansi Deret Taylor

Ψ_n dan E_n diekspansi sebagai deret Taylor dalam λ (artinya deret pangkat λ).

ψ_n = ∑_k=0 ( (d^kψ_n / dλ^k) |_λ=0 ) (λ^k / k!)
= Ψ_n|_λ=0 + (dΨ_n / dλ)|_λ=0 λ + (d²Ψ_n / dλ²)|_λ=0 (λ² / 2!) +.... (9-9) E_n = ∑_k=0 ( (d^kE_n / dλ^k) |_λ=0 ) (λ^k / k!)
= E_n|_λ=0 + (dE_n / dλ)|_λ=0 λ + (d²E_n / dλ²)|_λ=0 (λ² / 2!) +.... (9-10)

Selanjutnya agar penulisannya ringkas, ( (d^kψ_n / dλ^k) |_λ=0 ) (λ^k / k!) ditulis ψ_n^(k) dan ( (d^kE_n / dλ^k) |_λ=0 ) (λ^k / k!) ditulis E_n^(k)

Sehingga untuk k=0, maka:

ψ_n⁽⁰⁾ = (d⁰ψ_n / dλ⁰)|_λ=0 (λ⁰ / 0!) = Ψ_n|_λ=0 (9-11a) E_n⁽⁰⁾ = (d⁰E_n / dλ⁰)|_λ=0 (λ⁰ / 0!) = E_n|_λ=0 (9-11b)

dan k=1, 2, 3.....

ψ_n^(k) = (d^kΨ_n / dλ^k)|_λ=0 (1 / k!)     k=1, 2.... (9-12a) E_n^(k) = (d^kE_n / dλ^k)|_λ=0 (1 / k!)     k=1, 2,... (9-12b)

sehingga (9-9) dan (9-10) dapat ditulis

ψ_n = ψ_n⁽⁰⁾ + λψ_n⁽¹⁾ + λ²ψ_n⁽²⁾ + λ³ψ_n⁽³⁾ +....+ λ^kψ_n^(k) + ... (9-13) E_n = E_n⁽⁰⁾ + λE_n⁽¹⁾ + λ²E_n⁽²⁾ + λ³E_n⁽³⁾ +....+ λ^kE_n^(k) + ... (9-14)

ψ_n^(k) dan E_n^(k) disebut koreksi order k terhadap fungsi gelombang dan energi.

Jika diasumsikan deret (9-13) dan (9-14) konvergen untuk λ=1 dan untuk perturbasi (simpangan) yang kecil, suku-suku awal deret akan memberikan aproksimasi yang bagus bagi fungsi gelombang dan energi yang sesungguhnya.

Normalisasi Intermediate

Jika ψ_n⁽⁰⁾ ternormalisasi, maka <ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n⁽⁰⁾> = 1 Tanpa harus menganggap bahwa ψ_n ternormalisasi, kita mensyaratkan agar

<ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n> = 1

ψ_n tidak mengikuti <ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n> = 1 , maka hasil kali ψ_n dengan konstanta 1 / <ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n> akan menghasilkan fungsi gelombang terperturbasi yang jauh dari properti seharusnya.

Kondisi <ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n> = 1 ini disebut normalisasi intermediate.

Perlu dicatat bahwa hasil kali Ψ_n dengan konstanta tidak akan mengubah harga energi dalam persamaan Schrodinger Hψ_n = E_nψ_n sehingga penerapan normalisasi intermediate tidak berpengaruh terhadap hasil koreksi energi.

Substitusi (9-13) ke dalam normalisasi intermediate <ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n> = 1 menghasilkan

1 = <ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n⁽⁰⁾> + λ<ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾> + λ²<ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n⁽²⁾> +....

Karena <ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n⁽⁰⁾> pasti = 1, maka λ<ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾> + λ²<ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n⁽²⁾> +....= 0. Karena λ pasti tidak nol, maka

<ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾> = 0; <ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n⁽²⁾> = 0 dst (9-15)

Dari (9-15) itu tampak bahwa koreksi pada fungsi gelombang ψ_n^(k) adalah ortogonal terhadap ψ_n⁽⁰⁾ jika normalisasi intermediate dipergunakan.

Substitusi ke Persamaan Schrodinger

Hψ_n = (H⁰ + λH') ψ_n = E_nψ_n (9-8)

Substitusi (9-13) dan (9-14) ke dalam (9-8) menghasilkan:

(H⁰ + λH') (ψ_n⁽⁰⁾ + λψ_n⁽¹⁾ + λ²ψ_n⁽²⁾ + ...)
= (E_n⁽⁰⁾ + λE_n⁽¹⁾ + λ²E_n⁽²⁾ + ...) (ψ_n⁽⁰⁾ + λψ_n⁽¹⁾ + λ²ψ_n⁽²⁾ + ...)

Suku-suku yang pangkat λ nya sama dikumpulkan, hingga menjadi

H⁰ψ_n⁽⁰⁾ + λ(H'ψ_n⁽⁰⁾ + H⁰ψ_n⁽¹⁾) + λ²(H'ψ_n⁽¹⁾ + H⁰ψ_n⁽²⁾) + ...
= E_n⁽⁰⁾ψ_n⁽⁰⁾ + λ(E_n⁽¹⁾ψ_n⁽⁰⁾ + E_n⁽⁰⁾ψ_n⁽¹⁾) + λ²(E_n⁽²⁾ψ_n⁽⁰⁾ + E_n⁽¹⁾ψ_n⁽¹⁾ + E_n⁽⁰⁾ψ_n⁽²⁾) + ... (9-16)

Jika diasumsikan konvergen maka suku-suku yang berderajat sama dari kedua ruas persamaan (9-16) bernilai sama untuk sembarang harga λ.

Suku λ⁰ (Order ke-0)

Dari suku λ⁰ diperoleh

H⁰ψ_n⁽⁰⁾ = E_n⁽⁰⁾ψ_n⁽⁰⁾

(Ini adalah persamaan Schrodinger takterperturbasi yang sudah kita ketahui)

Suku λ¹ (Order Pertama)

Dari suku λ¹ diperoleh

(H'ψ_n⁽⁰⁾ + H⁰ψ_n⁽¹⁾) = (E_n⁽¹⁾ψ_n⁽⁰⁾ + E_n⁽⁰⁾ψ_n⁽¹⁾) (9-17)

atau

H⁰ψ_n⁽¹⁾ - E_n⁽⁰⁾ψ_n⁽¹⁾ = E_n⁽¹⁾ψ_n⁽⁰⁾ - H'ψ_n⁽⁰⁾ (9-18) ^ Ke Atas

Koreksi Energi Order Pertama

Untuk mendapatkan harga E_n⁽¹⁾, maka persamaan (9-18) dikalikan dengan ψ_m^(0)* kemudian diintegralkan ke seluruh ruang, sehingga menjadi:

<ψ_m⁽⁰⁾ | H⁰ | ψ_n⁽¹⁾> - E_n⁽⁰⁾<ψ_m⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾>
= E_n⁽¹⁾<ψ_m⁽⁰⁾ | ψ_n⁽⁰⁾> - <ψ_m⁽⁰⁾ | H' | ψ_n⁽⁰⁾> (9-19)

Operator H⁽⁰⁾ adalah Hermitian, sehingga suku pertama ruas kiri (9-19) adalah:

<ψ_m⁽⁰⁾ | H⁰ | ψ_n⁽¹⁾> = <ψ_n⁽¹⁾ | H⁰ | ψ_m⁽⁰⁾>^* = <ψ_n⁽¹⁾ | E_m⁽⁰⁾ψ_m⁽⁰⁾>^*
= (E_m⁽⁰⁾)^* <ψ_n⁽¹⁾ | ψ_m⁽⁰⁾>^* = E_m⁽⁰⁾ <ψ_m⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾> (9-20)

Substitusi (9-20) ke dalam (9-19) menghasilkan:

E_m⁽⁰⁾<ψ_m⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾> - E_n⁽⁰⁾<ψ_m⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾>
= E_n⁽¹⁾<ψ_m⁽⁰⁾ | ψ_n⁽⁰⁾> - <ψ_m⁽⁰⁾ | H' | ψ_n⁽⁰⁾>

atau

(E_m⁽⁰⁾ - E_n⁽⁰⁾)<ψ_m⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾> = E_n⁽¹⁾<ψ_m⁽⁰⁾ | ψ_n⁽⁰⁾>
- <ψ_m⁽⁰⁾ | H' | ψ_n⁽⁰⁾> (9-21)

Kasus m = n

Jika m = n, maka ruas kiri (9-21) menjadi nol sedang

<ψ_m⁽⁰⁾ | ψ_n⁽⁰⁾> = <ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n⁽⁰⁾> = 1

jadi

0 = E_n⁽¹⁾ - <ψ_n⁽⁰⁾ | H' | ψ_n⁽⁰⁾>

atau

E_n⁽¹⁾ = <ψ_n⁽⁰⁾ | H' | ψ_n⁽⁰⁾> = ∫ψ_n^(0)* H' ψ_n⁽⁰⁾ dτ ≡ H'_nn (9-22)*b

Kesimpulan:

Koreksi order pertama terhadap energi diperoleh dengan merata-rata perturbasi H' dengan mengacu pada fungsi takterperturbasi yang bersangkutan.

Jika koreksi terhadap energi sudah diperoleh maka energi sistem terperturbasi E_n adalah:

E_n ≈ E_n⁽⁰⁾ + E_n⁽¹⁾ = E_n⁽⁰⁾ + ∫ψ_n^(0)* H' ψ_n⁽⁰⁾ dτ (9-23)

• E_n = energi sistem terperturbasi (yang diaproksimasi)
• E_n⁽⁰⁾ = energi sistem tak terperturbasi
• E_n⁽¹⁾ = koreksi energi order pertama.

Soal Latihan (Energi Order Pertama)

1. Sebuah partikel dalam kotak 1D (0 sampai a) memiliki fungsi gelombang takterperturbasi ψ_n⁽⁰⁾ = (2/a)^1/2 sin(nπx / a). Jika sistem diberi perturbasi H' = V₀ (konstanta) untuk 0 ≤ x ≤ a/2 dan H'=0 di tempat lain, tentukan koreksi energi order pertama (E₁⁽¹⁾) untuk ground state (n=1).

   Jawaban dan Pembahasan:

   Formula umum untuk koreksi energi order pertama adalah (dari Persamaan 9-22):

   E_n⁽¹⁾ = <ψ_n⁽⁰⁾ | H' | ψ_n⁽⁰⁾> = ∫ ψ_n^(0)* H' ψ_n⁽⁰⁾ dτ

   Untuk ground state (n=1), fungsi gelombangnya adalah:

   ψ₁⁽⁰⁾ = (2/a)^1/2 sin(πx / a)

   Hamiltonian perturbasi H' bernilai V₀ hanya dari x=0 sampai x=a/2, dan nol di tempat lain. Oleh karena itu, kita membatasi integral kita pada rentang di mana H' tidak nol:

   E₁⁽¹⁾ = ∫₀^a ψ₁^(0)* H' ψ₁⁽⁰⁾ dx E₁⁽¹⁾ = ∫₀^a/2 [ (2/a)^1/2 sin(πx / a) ] V₀ [ (2/a)^1/2 sin(πx / a) ] dx + ∫_a/2^a ... (0) dx

   Kita keluarkan konstanta dari integral:

   E₁⁽¹⁾ = (2V₀ / a) ∫₀^a/2 sin²(πx / a) dx

   Untuk mengintegralkan, kita gunakan identitas trigonometri: sin²(θ) = (1/2)(1 - cos(2θ)).

   E₁⁽¹⁾ = (2V₀ / a) ∫₀^a/2 (1/2) [ 1 - cos(2πx / a) ] dx E₁⁽¹⁾ = (V₀ / a) [ x - (a / 2π) sin(2πx / a) ]₀^a/2

   Sekarang kita evaluasi integral pada batas-batasnya:

   Batas Atas (x = a/2):

   (V_{0} / a) [ (a/2) - (a / 2π) sin(2π(a/2) / a) ] = (V0} / a) [ (a/2) - (a / 2π) sin(π) ]}

   Karena sin(π) = 0, suku kedua menjadi nol.

   = (V_{0} / a) [ a/2 - 0 ] = V0 / 2}

   Batas Bawah (x = 0):

   (V_{0} / a) [ 0 - (a / 2π) sin(0) ] = 0}

   Hasil akhirnya adalah (Batas Atas - Batas Bawah):

   E₁⁽¹⁾ = (V_{0} / 2) - 0 = V0} / 2}

   Jadi, koreksi energi order pertama untuk ground state adalah V₀/2. Ini masuk akal, karena perturbasi V₀ diterapkan pada tepat setengah kotak (dan probabilitas untuk ground state sedikit terkonsentrasi di tengah, namun integralnya pas setengah).

2. Untuk partikel dalam kotak 1D yang sama (0 sampai a), perturbasi yang diberikan adalah H' = c ⋅ x, di mana c adalah konstanta kecil. Hitung koreksi energi order pertama (E_n⁽¹⁾) untuk state ke-n.

   Jawaban dan Pembahasan:

   Kita menggunakan formula yang sama untuk E_n⁽¹⁾ dengan H' = cx dan fungsi gelombang ψ_n⁽⁰⁾ = (2/a)^1/2 sin(nπx / a).

   E_n⁽¹⁾ = ∫₀^a [ (2/a)^1/2 sin(nπx / a) ]^* (cx) [ (2/a)^1/2 sin(nπx / a) ] dx

   Keluarkan konstanta:

   E_n⁽¹⁾ = (2c / a) ∫₀^a x sin²(nπx / a) dx

   Kita dapat menyelesaikan integral ini menggunakan integrasi parsial, atau menggunakan formula integral standar yang ada di apendiks (seperti A.3):

   ∫ x sin²(bx) dx = x²/4 - (x/4b)sin(2bx) - (1/8b²)cos(2bx)

   Dalam kasus kita, b = nπ / a. Mari kita terapkan batas integral dari 0 sampai a:

   ∫₀^a ... = [ x²/4 - (ax / 4nπ)sin(2nπx / a) - (a² / 8n²π²)cos(2nπx / a) ]₀^a

   Batas Atas (x = a):

   [ a²/4 - (a² / 4nπ)sin(2nπ) - (a² / 8n²π²)cos(2nπ) ]

   Karena n adalah bilangan bulat (1, 2, 3, ...), maka sin(2nπ) = 0 dan cos(2nπ) = 1.

   = [ a²/4 - 0 - (a² / 8n²π²) ]

   Batas Bawah (x = 0):

   [ 0 - 0 - (a² / 8n²π²)cos(0) ] = - (a² / 8n²π²)

   Hasil integral = (Batas Atas) - (Batas Bawah):

   = [ a²/4 - (a² / 8n²π²) ] - [ - (a² / 8n²π²) ] = a²/4

   Sekarang, substitusikan hasil integral ini kembali ke ekspresi E_n⁽¹⁾:

   E_n⁽¹⁾ = (2c / a) ⋅ (a² / 4) = ca / 2

   Koreksi energi order pertama adalah ca/2 untuk semua state n. Ini adalah nilai rata-rata dari perturbasi (yang linear dari 0 ke ca), yang bernilai ca/2 di tengah kotak (x = a/2).

3. Sistem osilator harmonis 1D takterperturbasi (H⁰) diberi perturbasi H' = γx (γ adalah konstanta kecil). Tentukan koreksi energi order pertama (E_v⁽¹⁾) untuk sembarang state v. (Petunjuk: Gunakan sifat simetri dari ψ_v⁽⁰⁾ dan H'. Apakah integralnya ganjil atau genap?)

   Jawaban dan Pembahasan:

   Kita akan mengevaluasi integral koreksi energi order pertama:

   E_v⁽¹⁾ = <ψ_v⁽⁰⁾ | H' | ψ_v⁽⁰⁾> = ∫_-∞^∞ ψ_v^(0)* (γx) ψ_v⁽⁰⁾ dx E_v⁽¹⁾ = γ ∫_-∞^∞ x |ψ_v⁽⁰⁾|² dx

   Kita tidak perlu menyelesaikan integral ini secara eksplisit. Kita dapat menggunakan argumen simetri, seperti yang disarankan oleh petunjuk:

   1. Fungsi Gelombang Osilator Harmonis (ψ_v⁽⁰⁾): Potensial osilator harmonis takterperturbasi (V = 1/2 kx²) adalah simetris (fungsi genap) terhadap x=0. Akibatnya, fungsi gelombang eigennya, ψ_v⁽⁰⁾, harus memiliki paritas yang pasti (genap atau ganjil).
      • Jika v = 0, 2, 4, ... (ground state dan state genap), ψ_v⁽⁰⁾ adalah fungsi genap.
      • Jika v = 1, 3, 5, ... (state ganjil), ψ_v⁽⁰⁾ adalah fungsi ganjil.
   2. Densitas Probabilitas (|ψ_v⁽⁰⁾|²): Densitas probabilitas, |ψ_v⁽⁰⁾|², selalu merupakan fungsi genap, tidak peduli apakah ψ_v⁽⁰⁾ itu genap atau ganjil. (Karena (Genap)² = Genap, dan (Ganjil)² = Genap).
   3. Perturbasi (H' = γx): Perturbasi ini adalah fungsi ganjil (fungsi linear dari x).
   4. Integran (x |ψ_v⁽⁰⁾|²): Keseluruhan fungsi yang diintegralkan (integran) adalah hasil kali dari fungsi ganjil (x) dan fungsi genap (|ψ_v⁽⁰⁾|²).
      (Fungsi Ganjil) × (Fungsi Genap) = (Fungsi Ganjil)
   5. Integral: Integral dari sebuah fungsi ganjil pada batas simetris (dari -∞ sampai +∞) selalu sama dengan nol.

   Oleh karena itu, integral tersebut bernilai nol.

   E_v⁽¹⁾ = γ × (0) = 0

   Koreksi energi order pertama adalah nol untuk semua state v. Ini berarti penambahan potensial linear γx tidak mengubah energi sistem pada order pertama. (Secara fisik, ini menggeser titik ekuilibrium potensial sedikit, tetapi tidak mengubah level energi pada aproksimasi pertama).

^ Ke Atas

Contoh: Osilator Takharmonis

EXAMPLE (Versi Bahasa Inggris)

For the anharmonic oscillator with Hamiltonian (9.3), evaluate E⁽¹⁾ for the ground state if the unperturbed system is taken as the harmonic oscillator.

The perturbation is given by Eqs. (9.3) to (9.5) as

H' = H - H⁰ = cx³ + dx⁴

and the first-order energy correction for the state with quantum number v is given by (9.22) as E_v⁽¹⁾ = <ψ_v⁽⁰⁾ | cx³ + dx⁴ | ψ_v⁽⁰⁾>, where ψ_v⁽⁰⁾ is the harmonic-oscillator wave function for state v. For the v=0 ground state, use of ψ₀⁽⁰⁾ = (α/π)^1/4e^-αx2/2 [Eq. (4.53)] gives

E₀⁽¹⁾ = <ψ₀⁽⁰⁾ | cx³ + dx⁴ | ψ₀⁽⁰⁾> = (α/π)^1/2 ∫_-∞^∞ e^-αx2(cx³ + dx⁴)dx

The integral from -∞ to ∞ of the odd function cx³e^-αx2 is zero.

Use of the Appendix integral (A.10) with n=2 and (4.31) for α gives

E₀⁽¹⁾ = 2d(α/π)^1/2 ∫₀^∞ e^-αx2 x⁴dx = 3d / (4α²) = 3dh² / (64π⁴ν²m²)

The unperturbed ground-state energy is E₀⁽⁰⁾ = (1/2)hν and E₀⁽⁰⁾ + E₀⁽¹⁾ = (1/2)hν + 3dh² / (64π⁴ν²m²).

---

Contoh (Versi Bahasa Indonesia)

Untuk osilator tak harmonis yang hamiltoniannya adalah

H = -(ℏ²/2m)(d²/dx²) + (1/2)kx² + px³ + qx⁴,

tentukan koreksi order pertama untuk energi ground state.

Jawab:

a) Untuk osilator harmonis, energi ground state adalah E₀⁽⁰⁾ = (1/2)hv.

Koreksi order pertama untuk energi ground state yang ditanyakan adalah E₀⁽¹⁾.

Menurut (9-22):

E_n⁽¹⁾ = ∫ψ_n^(0)* H' ψ_n⁽⁰⁾ dτ

jadi

E₀⁽¹⁾ = ∫_-∞^∞ ψ₀^(0)* H' ψ₀⁽⁰⁾ dx

ψ₀⁽⁰⁾ = fungsi gelombang tak terperturbasi (osilator harmonis) ground state = (α/π)^1/4e^-αx2/2

H' = H - H⁰ = (-(ℏ²/2m)(d²/dx²) + (1/2)kx² + px³ + qx⁴) - (-(ℏ²/2m)(d²/dx²) + (1/2)kx²) = px³ + qx⁴

jadi

E₀⁽¹⁾ = ∫_-∞^∞ (α/π)^1/4e^-αx2/2 (px³ + qx⁴) (α/π)^1/4e^-αx2/2 dx

atau

E₀⁽¹⁾ = ∫_-∞^∞ (α/π)^1/2e^-αx2(px³ + qx⁴)dx = (α/π)^1/2 ∫_-∞^∞ e^-αx2(px³ + qx⁴)dx
= (α/π)^1/2 ∫_-∞^∞ px³e^-αx2dx + (α/π)^1/2 ∫_-∞^∞ qx⁴e^-αx2dx

∫_-∞^∞ px³e^-αx2dx

= integral fungsi ganjil dengan batas -∞ s/d ∞ = 0.

jadi

E₀⁽¹⁾ = 0 + (α/π)^1/2 ∫_-∞^∞ qx⁴e^-αx2dx = (α/π)^1/2 ⋅ 2q ∫₀^∞ x⁴e^-αx2dx

Gunakan Tabel A.5 Integrals halaman 663

(Menggunakan (A.10) dengan n=2, b=α):

∫₀^∞ x⁴e^-αx2dx = (4! / (2⁵ ⋅ 2!)) ⋅ (π / α⁵)^1/2 = (24 / 64) ⋅ (π/α⁵)^1/2 = (3/8) (π/α⁵)^1/2

Substitusi kembali:

E₀⁽¹⁾ = (α/π)^1/2 ⋅ 2q ⋅ (3/8) (π/α⁵)^1/2 = ( (απ) / (πα⁵) )^1/2 ⋅ (6q/8) = (1/α⁴)^1/2 ⋅ (3q/4) = 3q / (4α²)

---

Tambahan: 3 Soal Latihan Teori Gangguan

Berikut adalah 3 soal tambahan yang relevan dengan topik teori gangguan, beserta pembahasan rincinya.

Soal 1: Koreksi Energi Osilator Takharmonis (Keadaan Tereksitasi Pertama)

Menggunakan Hamiltonian dan gangguan (H' = px³ + qx⁴) yang sama dari contoh sebelumnya, tentukan koreksi energi orde pertama (E₁⁽¹⁾) untuk keadaan tereksitasi pertama (v=1).

Jawab:

Koreksi energi orde pertama untuk keadaan v=1 diberikan oleh:

E₁⁽¹⁾ = <ψ₁⁽⁰⁾ | H' | ψ₁⁽⁰⁾> = ∫_-∞^∞ ψ₁^(0)* (px³ + qx⁴) ψ₁⁽⁰⁾ dx

Fungsi gelombang tak terperturbasi untuk keadaan v=1 adalah:

ψ₁⁽⁰⁾(x) = (4α³/π)^1/4 x e^-αx2/2

Kita pisahkan integralnya menjadi dua bagian:

E₁⁽¹⁾ = p ∫_-∞^∞ ψ₁^(0)* x³ ψ₁⁽⁰⁾ dx + q ∫_-∞^∞ ψ₁^(0)* x⁴ ψ₁⁽⁰⁾ dx

Perhatikan paritas (sifat ganjil/genap) dari fungsi-fungsi tersebut:

• ψ₁⁽⁰⁾ adalah fungsi ganjil (karena x e^-αx2/2).
• ψ₁^(0)* ψ₁⁽⁰⁾ = |ψ₁⁽⁰⁾|² adalah fungsi genap (ganjil × ganjil = genap).

Bagian pertama (integral x³):

∫_-∞^∞ |ψ₁⁽⁰⁾|² (genap) ⋅ x³ (ganjil) dx = ∫_-∞^∞ (fungsi ganjil) dx = 0

Sama seperti pada ground state, suku gangguan x³ tidak memberikan kontribusi pada koreksi energi orde pertama.

Bagian kedua (integral x⁴):

E₁⁽¹⁾ = q ∫_-∞^∞ |ψ₁⁽⁰⁾|² x⁴ dx = q ∫_-∞^∞ [ (4α³/π)^1/4 x e^-αx2/2 ]² x⁴ dx E₁⁽¹⁾ = q (4α³/π)^1/2 ∫_-∞^∞ x² e^-αx2 x⁴ dx = q (4α³/π)^1/2 ∫_-∞^∞ x⁶ e^-αx2 dx

Integran (x⁶ e^-αx2) adalah fungsi genap, sehingga kita bisa mengubah batas integralnya:

E₁⁽¹⁾ = q (4α³/π)^1/2 ⋅ 2 ∫₀^∞ x⁶ e^-αx2 dx

Gunakan kembali integral (A.10) dari apendiks: ∫₀^∞ x²ⁿ e^-bx2 dx. Di sini, 2n=6 ⇒ n=3 dan b=α.

∫₀^∞ x⁶ e^-αx2 dx = ( (2⋅3)! / (2^2⋅3+1 (3)!) ) ⋅ ( π / α^2⋅3+1 )^1/2 = ( 6! / (2⁷ ⋅ 6) ) ⋅ ( π / α⁷ )^1/2 = ( 720 / (128 ⋅ 6) ) ⋅ ( π / α⁷ )^1/2 = ( 15 / 16 ) ⋅ ( π / α⁷ )^1/2

Substitusikan kembali ke E₁⁽¹⁾:

E₁⁽¹⁾ = q ⋅ (2α^3/2 / π^1/2) ⋅ 2 ⋅ ( 15 / 16 ) ⋅ ( π^1/2 / α^7/2 ) E₁⁽¹⁾ = q ⋅ ( (4 ⋅ 15) / 16 ) ⋅ ( (α^3/2 π^1/2) / (π^1/2 α^7/2) ) = q ⋅ (60 / 16) ⋅ ( 1 / α² ) = q ⋅ (15 / 4) ⋅ ( 1 / α² )

Jadi, koreksi energi orde pertama untuk keadaan tereksitasi pertama adalah:

E₁⁽¹⁾ = 15q / (4α²)

---

Soal 2: Partikel dalam Kotak dengan Potensial Landai

Tinjau sebuah partikel dalam kotak satu dimensi dari x=0 hingga x=L. Sistem tak terpertubasinya adalah kotak potensial biasa (V=0 di dalam kotak). Sekarang, tambahkan gangguan potensial yang "landai" (linear):

H' = V₀ (x / L)

Tentukan koreksi energi orde pertama (E₁⁽¹⁾) untuk ground state (n=1).

Jawab:

Untuk partikel dalam kotak tak terperturbasi, energi dan fungsi gelombang ground state (n=1) adalah:

E₁⁽⁰⁾ = (1² h²) / (8mL²)   ,   ψ₁⁽⁰⁾ = (2/L)^1/2 sin(πx / L)

Koreksi energi orde pertama dihitung sebagai nilai harapan dari gangguan:

E₁⁽¹⁾ = <ψ₁⁽⁰⁾ | H' | ψ₁⁽⁰⁾> = ∫₀^L ( (2/L)^1/2 sin(πx/L) )^* ( V₀ x/L ) ( (2/L)^1/2 sin(πx/L) ) dx

Keluarkan konstanta dari integral:

E₁⁽¹⁾ = (2/L) ⋅ (V₀/L) ∫₀^L x sin²(πx/L) dx = (2V₀/L²) ∫₀^L x sin²(πx/L) dx

Untuk menyelesaikan integral ini, kita gunakan identitas trigonometri sin²(θ) = (1/2)(1 - cos(2θ)):

E₁⁽¹⁾ = (2V₀/L²) ∫₀^L x ⋅ (1/2) (1 - cos(2πx/L)) dx E₁⁽¹⁾ = (V₀/L²) [ ∫₀^L x dx - ∫₀^L x cos(2πx/L) dx ]

Integral pertama:

∫₀^L x dx = [ (1/2)x² ]₀^L = L²/2

Integral kedua: Gunakan integrasi parsial (∫u dv = uv - ∫v du).

• u = x ⇒ du = dx
• dv = cos(2πx/L) dx ⇒ v = (L/2π) sin(2πx/L)

∫₀^L x cos(2πx/L) dx = [ x (L/2π) sin(2πx/L) ]₀^L - ∫₀^L (L/2π) sin(2πx/L) dx

Bagian pertama (uv):

[ (L) (L/2π) sin(2π) ] - [ (0) (L/2π) sin(0) ] = 0 - 0 = 0

Bagian kedua (−∫v du):

−(L/2π) ∫₀^L sin(2πx/L) dx = −(L/2π) [ −(L/2π) cos(2πx/L) ]₀^L = (L²/4π²) [ cos(2πL/L) - cos(0) ] = (L²/4π²) [ cos(2π) - cos(0) ] = (L²/4π²) [ 1 - 1 ] = 0

Kedua bagian dari integral kedua adalah nol. Jadi, ∫₀^L x cos(...) dx = 0.

Substitusikan kembali hasil integral ke E₁⁽¹⁾:

E₁⁽¹⁾ = (V₀/L²) [ (L²/2) - 0 ] = V₀/2

Secara fisik, ini masuk akal. Gangguan H' bervariasi linear dari 0 hingga V₀. Fungsi densitas probabilitas |ψ₁⁽⁰⁾|² simetris di sekitar L/2. Oleh karena itu, koreksi energi orde pertama adalah rata-rata dari gangguan di seluruh kotak, yang bernilai V₀/2.

---

Soal 3: Partikel dalam Kotak dengan Potensial Setengah

Tinjau kembali partikel dalam kotak satu dimensi dari x=0 hingga x=L. Kali ini, gangguan H' adalah potensial konstan V₀ yang hanya ada di setengah kotak pertama:

Tentukan koreksi energi orde pertama (E₂⁽¹⁾) untuk keadaan tereksitasi pertama (n=2).

Jawab:

Fungsi gelombang tak terperturbasi untuk keadaan tereksitasi pertama (n=2) adalah:

ψ₂⁽⁰⁾ = (2/L)^1/2 sin(2πx/L)

Koreksi energi orde pertama dihitung dengan mengintegralkan gangguan hanya di wilayah di mana gangguan itu tidak nol (0 hingga L/2):

E₂⁽¹⁾ = <ψ₂⁽⁰⁾ | H' | ψ₂⁽⁰⁾> = ∫₀^L ψ₂^(0)* H' ψ₂⁽⁰⁾ dx E₂⁽¹⁾ = ∫₀^L/2 ( (2/L)^1/2 sin(2πx/L) )^* (V₀) ( (2/L)^1/2 sin(2πx/L) ) dx + ∫_L/2^L ... (0) ... dx

Keluarkan konstanta:

E₂⁽¹⁾ = (2V₀/L) ∫₀^L/2 sin²(2πx/L) dx

Gunakan lagi identitas sin²(θ) = (1/2)(1 - cos(2θ)):

E₂⁽¹⁾ = (2V₀/L) ∫₀^L/2 (1/2) (1 - cos(4πx/L)) dx E₂⁽¹⁾ = (V₀/L) [ ∫₀^L/2 1 dx - ∫₀^L/2 cos(4πx/L) dx ]

Integral pertama:

∫₀^L/2 1 dx = [x]₀^L/2 = L/2

Integral kedua:

∫₀^L/2 cos(4πx/L) dx = [ (L/4π) sin(4πx/L) ]₀^L/2 = [ (L/4π) sin(4π(L/2)/L) ] - [ (L/4π) sin(0) ] = (L/4π) sin(2π) - 0 = 0

Integral kedua bernilai nol.

Substitusikan kembali hasil integral ke E₂⁽¹⁾:

E₂⁽¹⁾ = (V₀/L) [ (L/2) - 0 ] = V₀/2

Hasilnya menarik: koreksi energinya adalah V₀/2. Ini karena fungsi densitas probabilitas |ψ₂⁽⁰⁾|² = (2/L)sin²(2πx/L) simetris sempurna. Fungsi ini memiliki dua "puncak" yang identik, satu di x=L/4 dan satu lagi di x=3L/4. Karena gangguan V₀ hanya menutupi "puncak" pertama (setengah dari total probabilitas), koreksi energinya adalah tepat setengah dari V₀.

^ Ke Atas

Koreksi Fungsi Gelombang Order Pertama

Untuk m ≠ n, persamaan (9-21) menjadi:

(E_m⁽⁰⁾ - E_n⁽⁰⁾) <ψ_m⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾> = - <ψ_m⁽⁰⁾ | H' | ψ_n⁽⁰⁾>   m ≠ n (9-24)

Untuk memperoleh ψ_n⁽¹⁾, kita mengekspansinya ke dalam suku-suku yang terdiri atas himpunan fungsi eigen tak terperturbasi ψ_m⁽⁰⁾ dari operator hermitian H⁰ :

ψ_n⁽¹⁾ = ∑_m a_nm ψ_m⁽⁰⁾ , dengan a_nm = <ψ_m⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾> (9-25)

Dengan menggunakan a_nm = <ψ_m⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾>, persamaan (9-24) menjadi:

(E_m⁽⁰⁾ - E_n⁽⁰⁾) a_nm = - <ψ_m⁽⁰⁾ | H' | ψ_n⁽⁰⁾>   m ≠ n

atau

a_nm = <ψ_m⁽⁰⁾ | H' | ψ_n⁽⁰⁾> / (E_n⁽⁰⁾ - E_m⁽⁰⁾) = H'_mn / (E_n⁽⁰⁾ - E_m⁽⁰⁾) (9-26)

Dari persamaan kedua pada (9-25), dapat dinyatakan bahwa a_nn = <ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾>

Ingat bahwa pemilihan normalisasi intermediate untuk ψ_n membuat <ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾> = 0 [persamaan (9-15)].

Karena itu, a_nn = <ψ_n⁽⁰⁾ | ψ_n⁽¹⁾> = 0, sehingga (9-25) dan (9-26) memberikan koreksi order pertama terhadap fungsi

ψ_n⁽¹⁾ = ∑_m≠n ( <ψ_m⁽⁰⁾ | H' | ψ_n⁽⁰⁾> / (E_n⁽⁰⁾ - E_m⁽⁰⁾) ) ψ_m⁽⁰⁾ (9-27)

Lambang ∑_m≠n artinya menjumlah semua state tak terperturbasi kecuali state n.

Dengan menggunakan harga λ=1 dalam (9-13) dan menggunakan koreksi fungsi gelombang order pertama, kita mempunyai sebuah aproksimasi terhadap fungsi gelombang perturbasi yaitu:

ψ_n ≈ ψ_n⁽⁰⁾ + ψ_n⁽¹⁾ = ψ_n⁽⁰⁾ + ∑_m≠n ( <ψ_m⁽⁰⁾ | H' | ψ_n⁽⁰⁾> / (E_n⁽⁰⁾ - E_m⁽⁰⁾) ) ψ_m⁽⁰⁾ (9-28)

Secara ringkas dapat ditulis koreksi untuk orde pertama (dengan λ):

E_n ≈ E_n⁽⁰⁾ + λH'_nn = E_n⁽⁰⁾ + λE_n⁽¹⁾ ψ_n ≈ ψ_n⁽⁰⁾ + λ ∑_m≠n ( H'_mn / (E_n⁽⁰⁾ - E_m⁽⁰⁾) ) ψ_m⁽⁰⁾ ψ_n ≈ ψ_n⁽⁰⁾ + λψ_n⁽¹⁾

Jika λ=1, maka (termasuk orde kedua untuk energi):

E_n ≈ E_n⁽⁰⁾ + H'_nn + ∑_m≠n ( |H'_mn|² / (E_n⁽⁰⁾ - E_m⁽⁰⁾) ) (9.36) ^ Ke Atas

Contoh aplikasi Teori Perturbasi

Jika Hamilton Perturbasi H' adalah

H' = (x/a)V₁   dan   ψ_n = (2/a)^1/2 sin(nπx / a)

Dimana V₁ adalah ketinggian potensial pada x=a. Koreksi orde pertama pada energi level ke-n persamaan (9-22)*b adalah

E_n⁽¹⁾ = <ψ_n | (xV₁ / a) | ψ_n> = (V₁ / a) ∫₀^a (2/a)^1/2 sin(nπx / a) ⋅ x ⋅ (2/a)^1/2 sin(nπx / a) dx
= (2V₁ / a²) ∫₀^a x sin²(nπx / a) dx
= (1/2)V₁

Jadi perturbasi orde pertama menaikkan energi semua level sebesar (1/2)V₁

Maka

E_n ≈ E_n⁽⁰⁾ + λH'_nn = E_n⁽⁰⁾ + λE_n⁽¹⁾ = E_n⁽⁰⁾ + λ(1/2)V₁

Koreksi Fungsi Gelombang

Koreksi orde pertama fungsi gelombang diberikan oleh persamaan (9-26) dan untuk problem ini (dengan k menggantikan n):

a_mk = ( <ψ_m⁽⁰⁾ | H' | ψ_k⁽⁰⁾> ) / (E_k⁰ - E_m⁰) = ( (2V₁ / a²) ∫₀^a x sin(kπx / a) sin(mπx / a) dx ) / (E_k⁰ - E_m⁰)

Denominatornya = (h² / 8ma²)(k² - m²) = (k² - m²)E₁⁽⁰⁾

Untuk mengevaluasi integral (numerator, H'_mk), kita gunakan relasi trigonometrik

sin θ sin φ = (1/2) [cos(θ - φ) - cos(θ + φ)]

Kita substitusikan ke H'_km (integral di [254] dinotasikan H_km, asumsikan H'_km)

H'_km = (V₁/π²) ∫₀^π y [cos(k-m)y - cos(k+m)y] dy

(Setelah evaluasi integral...)

H'_km = 0   (jika k-m, k+m genap) H'_km = (2/π²)V₁ ( 1/(k+m)² - 1/(k-m)² )   (jika k-m, k+m ganjil)

Misal k=1 (state yang dikoreksi). Kita cari a_m1 = H'_m1 / (E₁⁰ - E_m⁰).

Aplikasinya adalah:

(k=1, m=2): k-m=-1 (ganjil), k+m=3 (ganjil)

H'₂₁ = (2/π²)V₁ ( 1/3² - 1/1² ) = (2/π²)V₁ (1/9 - 1) = -(16/9)(V₁/π²) ≈ -0.180 V₁

(k=1, m=3): k-m=-2 (genap), k+m=4 (genap)

H'₃₁ = 0

(k=1, m=4): k-m=-3 (ganjil), k+m=5 (ganjil)

H'₄₁ = (2/π²)V₁ ( 1/5² - 1/3² ) = (2/π²)V₁ (1/25 - 1/9) = (2/π²)V₁ (-16/225) = -(32/225)(V₁/π²) ≈ -0.0144 V₁ H'₅₁ = 0, dan seterusnya.

Perhatikan integral [249], denominatornya adalah:

E₁⁰ - E₂⁰ = (1² - 2²)E₁⁰ = -3E₁⁰ E₁⁰ - E₄⁰ = (1² - 4²)E₁⁰ = -15E₁⁰

Sehingga koefisien a_m1:

a₂₁ = H'₂₁ / (E₁⁰ - E₂⁰) = (-0.180 V₁) / (-3 E₁⁰) = 0.06 (V₁ / E₁⁰) a₃₁ = a₅₁ = ..... = 0 a₄₁ = H'₄₁ / (E₁⁰ - E₄⁰) = (-0.0144 V₁) / (-15 E₁⁰) = 0.00096 (V₁ / E₁⁰)

Sehingga ψ₁ (aproksimasi):

ψ₁ ≈ ψ₁⁰ + a₂₁ψ₂⁰ + a₃₁ψ₃⁰ + a₄₁ψ₄⁰ + ... ψ₁ ≈ ψ₁⁰ + 0.06(V₁/E₁⁰)ψ₂⁰ + 0.00096(V₁/E₁⁰)ψ₄⁰ + ...

---

Aplikasi koreksi orde kedua

Jika fungsi ψ_k⁽⁰⁾ dan ψ_m⁽⁰⁾ adalah real, integral H'_km dan H'_mk adalah sama. Ekspresi koreksi energi untuk orde kedua adalah

E_n⁽²⁾ = ∑_k≠n ( |H'_kn|² / (E_n⁰ - E_k⁰) )

Dengan menggunakan harga elemen matriks yang didapat di atas kita dapat memperoleh koreksi E₁ orde kedua

E₁⁽²⁾ = ∑_k≠1 ( |H'_k1|² / (E₁⁰ - E_k⁰) ) = ( |H'₂₁|² / (E₁⁰ - E₂⁰) ) + ( |H'₃₁|² / (E₁⁰ - E₃⁰) ) + ( |H'₄₁|² / (E₁⁰ - E₄⁰) ) + ... E₁⁽²⁾ = ( (-0.180 V₁)² / -3E₁⁰ ) + ( (0)² / (E₁⁰ - E₃⁰) ) + ( (-0.0144 V₁)² / -15 E₁⁰ ) + ... E₁⁽²⁾ = -0.0108 (V₁² / E₁⁰) - 0.0000138 (V₁² / E₁⁰) + ... E₁⁽²⁾ ≈ -0.0108 (V₁² / E₁⁰)

(Suku kedua lebih kecil maka diabaikan)

Energi E₁ (total) adalah (sampai koreksi orde kedua):

E₁ ≈ E₁⁰ + E₁⁽¹⁾ + E₁⁽²⁾ E₁ ≈ E₁⁰ + 0.500 V₁ - 0.0108 (V₁² / E₁⁰)

Soal Latihan (Energi Order Kedua)

1. Tuliskan formula umum untuk koreksi energi order kedua, E_n⁽²⁾. Jelaskan secara kualitatif mengapa koreksi orde kedua ini (E_n⁽²⁾) hampir selalu bernilai negatif untuk ground state (n=1).

   Jawaban dan Pembahasan:

   Formula Umum:

   Formula umum untuk koreksi energi order kedua, seperti yang ditunjukkan pada (Tab 6), adalah:

   E_n⁽²⁾ = ∑_k≠n ( |H'_kn|² / (E_n⁰ - E_k⁰) )

   dimana:

   • H'_kn = <ψ_k⁽⁰⁾ | H' | ψ_n⁽⁰⁾>, adalah elemen matriks perturbasi antara state k dan state n.
   • E_n⁰ adalah energi takterperturbasi dari state n (state yang kita amati).
   • E_k⁰ adalah energi takterperturbasi dari state k (semua state lain).

   Penjelasan Kualitatif untuk Ground State (n=1):

   Untuk ground state (n=1), formulanya menjadi:

   E₁⁽²⁾ = ∑_k≠1 ( |H'_k1|² / (E₁⁰ - E_k⁰) )

   Kita dapat menganalisis setiap bagian dari suku penjumlahan (term) ini:

   1. Numerator ( |H'_k1|² ): Ini adalah kuadrat dari modulus (nilai absolut) elemen matriks. Nilai kuadrat selalu non-negatif (positif atau nol). Jika perturbasi "menghubungkan" ground state (n=1) dengan state lain (k), nilai ini akan positif.
   2. Denominator ( E₁⁰ - E_k⁰ ):
      • E₁⁰ adalah energi ground state (energi terendah).
      • E_k⁰ adalah energi dari excited state (state tereksitasi, k = 2, 3, 4, ...).
      • Berdasarkan definisi, ground state adalah state dengan energi terendah. Oleh karena itu, E_k⁰ selalu lebih besar daripada E₁⁰ untuk semua k ≠ 1.
      • Akibatnya, (E₁⁰ - E_k⁰) = (Energi Rendah - Energi Tinggi) = selalu bernilai negatif.
   3. Kesimpulan: Setiap suku dalam penjumlahan adalah (Nilai Positif) / (Nilai Negatif), yang menghasilkan Nilai Negatif.

   Karena E₁⁽²⁾ adalah hasil penjumlahan dari suku-suku yang semuanya negatif (atau nol), total koreksi energi order kedua untuk ground state hampir selalu bernilai negatif. Secara fisik, ini sering diinterpretasikan sebagai sistem yang "menstabilkan diri" sebagai respons terhadap perturbasi dengan "mencampurkan" sedikit karakter dari excited state, yang secara efektif menurunkan energinya.

2. Untuk osilator harmonis 1D dengan perturbasi H' = γx³ (γ adalah konstanta kecil), kita tahu bahwa E_v⁽¹⁾ = 0. Tentukan ekspresi untuk koreksi energi order kedua, E₀⁽²⁾, untuk ground state (v=0). (Petunjuk: Integral H'_k0 = <ψ_k|x³|ψ₀> hanya non-nol untuk k=1 dan k=3).

   Jawaban dan Pembahasan:

   (Catatan: E_v⁽¹⁾ = 0 karena integran <ψ_v|γx³|ψ_v> = γ ∫ |ψ_v|² x³ dx adalah ganjil, karena |ψ_v|² selalu genap dan x³ adalah ganjil. Integral dari fungsi ganjil pada batas simetris (-∞ ke +∞) adalah nol.)

   Kita mulai dengan formula umum untuk E₀⁽²⁾ (n=0):

   E₀⁽²⁾ = ∑_k≠0 ( |H'_k0|² / (E₀⁰ - E_k⁰) )

   Dimana H'_k0 = <ψ_k⁽⁰⁾ | γx³ | ψ₀⁽⁰⁾> = γ <ψ_k⁽⁰⁾ | x³ | ψ₀⁽⁰⁾>.

   Kita perlu menganalisis paritas (sifat genap/ganjil) dari integral H'_k0 untuk menentukan suku mana yang tidak nol:

   1. Fungsi ground state ψ₀⁽⁰⁾ adalah fungsi genap.
   2. Perturbasi x³ adalah fungsi ganjil.
   3. Hasil kali (x³ ψ₀⁽⁰⁾) adalah (Ganjil × Genap) = Ganjil.
   4. Integral H'_k0 = γ ∫ ψ_k^(0)* (Fungsi Ganjil) dx.
   5. Agar integral ini tidak nol, ψ_k⁽⁰⁾ harus merupakan fungsi ganjil (karena Ganjil × Ganjil = Genap, yang integralnya tidak nol).
   6. Fungsi gelombang osilator harmonis ψ_k⁽⁰⁾ bersifat ganjil hanya untuk k = 1, 3, 5, ...

   Petunjuk soal memberi tahu kita untuk hanya mempertimbangkan k=1 dan k=3. (Ini adalah kontributor utama, dan integral untuk k≥5 mungkin nol karena aturan seleksi yang lebih ketat atau diabaikan karena denominasi energinya jauh lebih besar).

   Maka, penjumlahan disederhanakan menjadi:

   E₀⁽²⁾ ≈ ( |H'₁₀|² / (E₀⁰ - E₁⁰) ) + ( |H'₃₀|² / (E₀⁰ - E₃⁰) )

   Energi osilator harmonis takterperturbasi adalah E_v⁰ = (v + 1/2)ℏω.

   • E₀⁰ = (1/2)ℏω
   • E₁⁰ = (3/2)ℏω
   • E₃⁰ = (7/2)ℏω

   Maka, denominasi energinya adalah:

   • E₀⁰ - E₁⁰ = (1/2 - 3/2)ℏω = -ℏω
   • E₀⁰ - E₃⁰ = (1/2 - 7/2)ℏω = -3ℏω

   Substitusikan kembali ke ekspresi E₀⁽²⁾:

   E₀⁽²⁾ = ( |<ψ₁| γx³ |ψ₀>|² / (-ℏω) ) + ( |<ψ₃| γx³ |ψ₀>|² / (-3ℏω) )

   Ekspresi akhirnya adalah:

   E₀⁽²⁾ = - ( γ² / ℏω ) |<ψ₁| x³ |ψ₀>|² - ( γ² / 3ℏω ) |<ψ₃| x³ |ψ₀>|²

3. Sebuah partikel dalam kotak (0 sampai a) mengalami perturbasi H' = V₀ sin(2πx/a). Tentukan koreksi energi order pertama E₁⁽¹⁾ untuk ground state (n=1). Kemudian, tentukan koreksi energi order kedua E₁⁽²⁾.

   Jawaban dan Pembahasan:

   Bagian 1: Koreksi Energi Order Pertama (E₁⁽¹⁾)

   Kita evaluasi integral E₁⁽¹⁾ = <ψ₁⁽⁰⁾ | H' | ψ₁⁽⁰⁾>.

   E₁⁽¹⁾ = ∫₀^a [ (2/a)^1/2 sin(πx / a) ]^* (V₀ sin(2πx / a)) [ (2/a)^1/2 sin(πx / a) ] dx E₁⁽¹⁾ = (2V_{0} / a) ∫0^a sin²(πx / a) sin(2πx / a) dx}

   Gunakan identitas trigonometri sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ):

   E₁⁽¹⁾ = (2V_{0} / a) ∫0^a sin²(πx / a) [ 2 sin(πx / a) cos(πx / a) ] dx} E₁⁽¹⁾ = (4V_{0} / a) ∫0^a sin³(πx / a) cos(πx / a) dx}

   Kita selesaikan integral ini dengan substitusi u = sin(πx / a). Maka du = (π/a)cos(πx / a) dx.

   Ubah batas integral:

   • Saat x = 0, u = sin(0) = 0.
   • Saat x = a, u = sin(π) = 0.

   Karena batas atas dan batas bawah integral menjadi sama (0 sampai 0), hasil integralnya adalah nol.

   E₁⁽¹⁾ = 0

   ---

   Bagian 2: Koreksi Energi Order Kedua (E₁⁽²⁾)

   Karena E₁⁽¹⁾ = 0, koreksi energi terendah yang tidak nol berasal dari order kedua:

   E₁⁽²⁾ = ∑_k≠1 ( |H'_k1|² / (E₁⁰ - E_k⁰) )

   Kita harus mengevaluasi elemen matriks H'_k1 = <ψ_k⁽⁰⁾ | H' | ψ₁⁽⁰⁾>:

   H'_k1 = (2V_{0} / a) ∫0^a sin(kπx / a) sin(2πx / a) sin(πx / a) dx}

   Gunakan identitas produk-ke-penjumlahan: sin(A)sin(B) = (1/2)[cos(A-B) - cos(A+B)].

   Terapkan pada sin(kπx / a) sin(πx / a):

   = (V_{0} / a) ∫0^a [ cos((k-1)πx / a) - cos((k+1)πx / a) ] sin(2πx / a) dx}

   Integral ∫ cos(mπx/a) sin(nπx/a) dx adalah nol kecuali m+n dan m-n keduanya ganjil (yang terjadi jika m dan n memiliki paritas berbeda, satu genap dan satu ganjil).

   Di sini, n=2 (genap). Agar integral tidak nol, m harus ganjil.

   • Suku pertama: m = k-1. Agar tidak nol, k-1 harus ganjil, yang berarti k harus genap.
   • Suku kedua: m = k+1. Agar tidak nol, k+1 harus ganjil, yang berarti k harus genap.

   Jadi, H'_k1 bernilai nol untuk semua k ganjil (k=3, 5, ...). Kita hanya perlu menjumlahkan untuk k genap (k=2, 4, ...).

   Suku yang dominan (karena denominasi energinya terkecil) adalah k=2.

   Denominator Energi (untuk k=2):

   Energi PIB adalah E_n⁰ = n² E₁⁰ (dimana E₁⁰ = h²/8ma²).

   E₁⁰ - E₂⁰ = (1² - 2²) E₁⁰ = -3 E₁⁰

   Numerator (untuk k=2):

   H'₂₁ = (V_{0} / a) ∫0^a [ cos(πx / a) - cos(3πx / a) ] sin(2πx / a) dx}

   Menggunakan formula integral standar ∫₀^a cos(mπx/a) sin(nπx/a) dx = (a/π) [ 2n / (n²-m²) ] (untuk n±m ganjil):

   • Suku 1 (m=1, n=2): ∫ = (a/π) [ 4 / (4-1) ] = 4a / 3π
   • Suku 2 (m=3, n=2): ∫ = (a/π) [ 4 / (4-9) ] = -4a / 5π
   H'₂₁ = (V_{0} / a) [ (4a / 3π) - (-4a / 5&pi) ] = (V0} / π) [ 4/3 + 4/5 ] = (V0} / π) [ (20+12) / 15 ] = 32V0} / 15π}

   Ekspresi E₁⁽²⁾:

   Dengan hanya mempertimbangkan suku k=2 yang dominan, kita dapatkan:

   E₁⁽²⁾ ≈ ( |H'₂₁|² / (E₁⁰ - E₂⁰) ) = ( (32V_{0} / 15π)² / (-3 E1⁰) )} E₁⁽²⁾ ≈ - ( 1024 V₀² / (225 π²) ) ⋅ ( 1 / 3 E₁⁰ ) = - ( 1024 V₀² / 675 π² E₁⁰ )

   Ekspresi umum yang lebih lengkap adalah:

   E₁⁽²⁾ = ∑_{k=2, 4, ...} ( |H'_k1|² / (1 - k²)E₁⁰ )

^ Ke Atas

Perbandingan antara Metode Variasi dengan Perturbasi

Baik Metode Variasi maupun Metode Perturbasi (Teori Gangguan) adalah pilar utama dalam kimia kuantum komputasi. Keduanya adalah metode aproksimasi (pendekatan) yang fundamental. Mengapa kita butuh pendekatan? Karena Persamaan Schrödinger Ĥψ = Eψ mustahil diselesaikan secara eksak (analitik) untuk sistem apapun yang lebih rumit dari atom hidrogen. Untuk atom multi-elektron dan molekul, kita *harus* menggunakan aproksimasi.

Keduanya memiliki filosofi yang sangat berbeda untuk memecahkan masalah ini.

---

🧠 Filosofi Inti: Metode Variasi (Prinsip Variasi)

Filosofi metode ini adalah "menebak" jawaban terbaik. Metode ini didasarkan pada Prinsip Variasi, yang menyatakan:

"Energi yang dihitung dari fungsi gelombang tebakan ψ_trial manapun selalu lebih besar dari atau sama dengan energi ground state sejati E_gs."
Secara matematis:
E_trial = (⟨ψ_trial|Ĥ|ψ_trial⟩) / (⟨ψ_trial|ψ_trial⟩) ≥ E_gs

Analogi: Bayangkan Anda berada di sebuah lembah yang berkabut tebal (ini adalah "ruang" dari semua kemungkinan fungsi gelombang) dan Anda ingin menemukan titik terendah di lembah itu (energi ground state sejati, E_gs). Prinsip variasi menjamin bahwa kaki Anda (energi E_trial yang Anda hitung) tidak akan pernah menembus dasar lembah. Anda mungkin berada di lereng, tetapi Anda tidak akan pernah berada "di bawah tanah".

Bagaimana cara kerjanya?

1. Kita "menebak" sebuah bentuk fungsi gelombang ψ_trial yang masuk akal secara fisik, tetapi kita masukkan beberapa parameter yang bisa diubah-ubah (misalnya, α, β, &dots;).
2. Kita menghitung energi E_trial menggunakan fungsi gelombang tersebut.
3. Kita mengubah-ubah parameter (α, β, &dots;) sampai kita menemukan nilai energi E_trial yang paling minimum.

Energi minimum yang kita dapatkan adalah pendekatan terbaik untuk energi ground state yang bisa diberikan oleh "tebakan" kita. Semakin "pintar" tebakan awal kita (bentuk ψ_trial), semakin dekat kita ke dasar lembah yang sebenarnya.

---

🎯 Filosofi Inti: Metode Perturbasi (Teori Gangguan)

Filosofi metode ini adalah "memulai dari yang sederhana". Metode ini mengasumsikan bahwa masalah rumit yang ingin kita selesaikan (Hamiltonian Ĥ) mirip dengan masalah sederhana yang sudah kita ketahui solusinya (Ĥ⁽⁰⁾), ditambah "gangguan" (perturbasi) kecil (Ĥ′).

Kita memecah Hamiltonian total:
Ĥ = Ĥ⁽⁰⁾ + Ĥ′

• Ĥ⁽⁰⁾: Bagian tak terperturbasi (sistem sederhana). Contoh: osilator harmonik, atom hidrogen. Kita tahu persis semua energi (E_n⁽⁰⁾) dan fungsi gelombangnya (ψ_n⁽⁰⁾).
• Ĥ′: Bagian perturbasi (gangguan). Ini dianggap jauh lebih "lemah" daripada Ĥ⁽⁰⁾. Contoh: medan listrik eksternal yang lemah, atau (terkadang) tolakan antar-elektron.

Analogi: Bayangkan Anda memiliki senar gitar yang disetel dengan sempurna (ini Ĥ⁽⁰⁾). Anda tahu persis nada dasarnya (E₀⁽⁰⁾) dan semua nada harmoniknya (E_n⁽⁰⁾). Sekarang, Anda menempelkan setetes kecil lem di tengah senar (ini adalah Ĥ′). Nadanya akan bergeser sedikit, bukan? Teori perturbasi adalah cara matematis untuk menghitung pergeseran nada tersebut (koreksi energi E⁽¹⁾, E⁽²⁾, &dots;) tanpa harus menyelesaikan ulang seluruh masalah fisika senar dengan lem tadi dari nol.

Metode ini menghitung energi dan fungsi gelombang sebagai deret tak hingga (mirip deret Taylor):

• E_n = E_n⁽⁰⁾ + E_n⁽¹⁾ + E_n⁽²⁾ + &dots; (Koreksi orde ke-1, ke-2, dst.)
• ψ_n = ψ_n⁽⁰⁾ + ψ_n⁽¹⁾ + ψ_n⁽²⁾ + &dots;

---

📊 Perbandingan Langsung: Kapan Menggunakan yang Mana?

Sekarang kita dapat memahami poin-poin perbandingan dalam daftar awal Anda dengan lebih baik. Mari kita susun dalam tabel:

Fitur	Metode Variasi	Metode Perturbasi
Fokus Utama	Hanya Ground State (Keadaan Dasar). Prinsip variasi secara alami hanya berlaku untuk energi terendah (Egs). (Poin 1 Anda)	Semua State (Dasar & Terekstasi). Karena kita mulai dari seluruh set solusi Ĥ(0) (termasuk state tereksitasi), kita bisa menghitung koreksi untuk state manapun. (Poin 2 Anda)
Kompleksitas Perhitungan	Tantangannya adalah memilih "tebakan" ψtrial yang baik dan menghitung integral ⟨ψ|Ĥ|ψ⟩ yang bisa jadi sangat rumit.	Koreksi orde pertama (E(1)) mudah. Tapi koreksi orde kedua (E(2)) dan seterusnya sangat rumit, melibatkan penjumlahan tak hingga atas semua state lain. (Poin 3 Anda)
Akurasi vs. Fungsi Gelombang	Bisa menghasilkan energi yang "cukup baik" bahkan dengan ψtrial yang "tidak terlalu akurat". Energi selalu konvergen dari atas. (Poin 5 Anda)	Bisa menghasilkan energi yang sangat akurat. Ada teorema (Teorema Wigner 2k+1) yang menyatakan energi yang dihitung sampai orde 2k+1 akurat hanya dengan fungsi gelombang orde k. (Poin 4 Anda)
Batasan / Syarat Utama	Perlu "tebakan" fungsi gelombang yang fleksibel dan dapat diminimalkan.	Sangat bergantung pada Ĥ(0)! Kita harus bisa memecah Ĥ = Ĥ(0) + Ĥ′ DAN Ĥ′ harus "kecil". Jika gangguan terlalu besar, metodenya gagal.

---

💡 Ringkasan dan Konteks Praktis

Seperti yang disebutkan di poin terakhir Anda (Poin 6), hampir semua kalkulasi molekuler modern (seperti metode Hartree-Fock) didasarkan pada Metode Variasi.

Mengapa? Karena untuk molekul, tolakan antar-elektron bukanlah "gangguan kecil". Itu adalah bagian fundamental dari sistem. Sulit untuk mendefinisikan Ĥ⁽⁰⁾ yang sederhana namun realistis. Metode variasi jauh lebih fleksibel; kita bisa "membangun" fungsi gelombang dari nol (misalnya, sebagai kombinasi orbital atom) dan langsung meminimalkan energinya.

Jadi, di mana peran Metode Perturbasi?

Metode perturbasi menjadi sangat penting sebagai langkah selanjutnya. Banyak metode canggih (disebut post-Hartree-Fock) bekerja dengan cara ini:

1. Kita lakukan perhitungan Metode Variasi (Hartree-Fock) untuk mendapatkan pendekatan pertama yang terbaik.
2. Kita tetapkan hasil Hartree-Fock ini sebagai Ĥ⁽⁰⁾ baru kita.
3. Perbedaan antara Hamiltonian Hartree-Fock dan Hamiltonian "nyata" (disebut energi korelasi) sekarang diperlakukan sebagai "gangguan" (Ĥ′).
4. Kita gunakan Metode Perturbasi untuk menghitung koreksi terhadap energi Hartree-Fock.

Contoh paling terkenal dari pendekatan hibrida ini adalah metode MP2 (Møller-Plesset perturbation theory of the second order), yang sangat populer dalam kimia komputasi.

Jadi, kesimpulannya, kedua metode ini bukanlah rival yang saling menjatuhkan, melainkan alat fundamental yang seringkali digunakan bersamaan untuk mendapatkan gambaran paling akurat tentang dunia kuantum molekuler.

^ Ke Atas