Handout Bab 10: Spin Elektron & Teorema Spin-Statistik

Konsep Spin Elektron

Spektrum natrium (Na) menunjukkan garis D yang sebenarnya terdiri dari dua garis yang sangat berdekatan (doublet). Fenomena ini, yang dikenal sebagai fine structure (struktur halus), menunjukkan adanya penggandaan jumlah keadaan yang diharapkan untuk elektron valensi.

Pada tahun 1925, Uhlenbeck dan Goudsmit mengusulkan bahwa elektron memiliki momentum sudut intrinsik (bawaan), sebagai tambahan dari momentum sudut orbital. Momentum sudut intrinsik ini disebut sebagai spin.

Penting: Gambaran elektron sebagai bola bermuatan yang "berputar" pada porosnya hanyalah analogi makroskopik dan tidak memiliki realitas fisik. Spin adalah murni efek mekanika kuantum relativistik yang tidak memiliki padanan di dunia klasik. Dalam mekanika kuantum non-relativistik, spin harus diperkenalkan sebagai hipotesis tambahan.

Berikut adalah visualisasi konsep spin elektron:

Operator dan Nilai Eigen Spin

Sama seperti momentum sudut orbital (&Lcirc;², &Lcirc;_z), kita mendefinisikan operator momentum sudut spin yang linier dan Hermitian: Ŝ², Ŝ_x, Ŝ_y, dan Ŝ_z.

Operator-operator ini mematuhi hubungan komutasi yang sama dengan momentum sudut orbital, misalnya:

[Ŝ_x, Ŝ_y] = iℏŜ_z [Ŝ², Ŝ_z] = 0

Karena hubungan komutasi ini, kita dapat menemukan nilai eigen (eigenvalue) untuk Ŝ² dan Ŝ_z:

• Nilai eigen Ŝ² adalah: s(s+1)ℏ²
• Nilai eigen Ŝ_z adalah: m_sℏ, dimana m_s = -s, -s+1, ..., +s

Eksperimen menunjukkan bahwa untuk elektron (dan juga proton serta neutron), nilai bilangan kuantum spin adalah s = 1/2.

Dengan s = 1/2, kita dapatkan:

1. Besar (magnitude) total momentum sudut spin adalah:
   [ (1/2)(1/2 + 1)ℏ² ]^1/2 = [ (3/4)ℏ² ]^1/2 = (1/2)√3 ℏ
2. Komponen-z dari momentum sudut spin (m_s) hanya memiliki dua kemungkinan nilai:
   • m_s = +1/2 (disebut "spin up")
   • m_s = -1/2 (disebut "spin down")

Fungsi Eigen Spin (α dan β)

Dua kemungkinan keadaan spin m_s ini memiliki fungsi eigen (eigenfunction) masing-masing, yang kita sebut α dan β.

Fungsi-fungsi ini adalah fungsi eigen dari Ŝ² dan Ŝ_z:

Ŝ_z α = +1/2 ℏ α
Ŝ_z β = -1/2 ℏ β Ŝ² α = (3/4) ℏ² α
Ŝ² β = (3/4) ℏ² β

Variabel untuk fungsi spin ini adalah bilangan kuantum diskrit m_s itu sendiri. Tidak seperti fungsi gelombang spasial (yang diintegralkan), fungsi spin dinormalisasi menggunakan penjumlahan pada dua nilai m_s yang mungkin (+1/2 dan -1/2).

Kondisi ortonormalitasnya adalah:

• Normalisasi: ∑_ms=-1/2^1/2 |α(m_s)|² = 1   dan   ∑_ms=-1/2^1/2 |β(m_s)|² = 1
• Ortogonalitas: (Karena mereka adalah eigenfunction dari operator Hermitian Ŝ_z dengan nilai eigen berbeda) ∑_ms=-1/2^1/2 α^*(m_s) β(m_s) = 0

^ Ke Atas

Teorema Spin-Statistik

Dalam mekanika klasik, partikel identik (seperti bola biliar) dapat dibedakan dengan cara melacak jalur (lintasan) unik mereka.

Dalam mekanika kuantum, Prinsip Ketidakpastian melarang kita mengetahui lintasan partikel secara pasti. Jika partikel-partikel tersebut identik (massa, muatan, dan spin yang sama), maka tidak ada cara untuk membedakan satu dengan yang lainnya.

Oleh karena itu, fungsi gelombang untuk sistem partikel identik tidak boleh membedakan antar partikel tersebut.

Berikut adalah ilustrasi Teorema Spin-Statistik:

Operator Pertukaran (Permutasi)

Kita mendefinisikan operator permutasi &Pcirc;₁₂, yang menukar semua koordinat (spasial dan spin) dari partikel 1 dan 2.

&Pcirc;₁₂ f(q₁, q₂, ...) = f(q₂, q₁, ...)

Jika kita menerapkan operator ini dua kali, kita akan kembali ke fungsi semula: &Pcirc;₁₂ &Pcirc;₁₂ f = f. Ini berarti &Pcirc;₁₂² = Î (operator identitas).

Karena kuadratnya adalah 1, nilai eigen (eigenvalue) dari &Pcirc;₁₂ hanya bisa +1 atau -1.

Fungsi Simetris dan Antisimetris

Karena partikel identik tidak dapat dibedakan, menukar label mereka (misalnya, menukar 1 dan 2) tidak dapat mengubah keadaan fisik sistem. Ini berarti fungsi gelombang ψ harus merupakan fungsi eigen dari operator permutasi &Pcirc;_ik.

Ada dua kemungkinan perilaku fungsi gelombang terhadap pertukaran partikel:

1. Simetris (Nilai Eigen +1):

   &Pcirc;₁₂ ψ(q₁, q₂) = +1 ψ(q₁, q₂) ⇒ ψ(q₂, q₁) = ψ(q₁, q₂)

   Fungsi gelombang tidak berubah saat partikel dipertukarkan.

2. Antisimetris (Nilai Eigen -1):

   &Pcirc;₁₂ ψ(q₁, q₂) = -1 ψ(q₁, q₂) ⇒ ψ(q₂, q₁) = -ψ(q₁, q₂)

   Fungsi gelombang berubah tanda saat partikel dipertukarkan.

Fungsi gelombang untuk sistem n partikel identik harus *sepenuhnya* simetris atau *sepenuhnya* antisimetris terhadap pertukaran *setiap* pasang partikel.

Teorema Spin-Statistik

Pada tahun 1940, Wolfgang Pauli membuktikan hubungan fundamental antara spin partikel dan statistik (simetri) fungsi gelombangnya. Ini dikenal sebagai Teorema Spin-Statistik.

• Fermion (misal: Elektron, Proton, Neutron)
  • Memiliki spin setengah-integral (s = 1/2, 3/2, 5/2, ...).
  • Memerlukan fungsi gelombang yang ANTISIMETRIS.
  • Eksperimen (seperti tabel periodik) membuktikan bahwa elektron adalah fermion.
• Boson (misal: Foton, Pion)
  • Memiliki spin integral (s = 0, 1, 2, ...).
  • Memerlukan fungsi gelombang yang SIMETRIS.

Konsekuensi Antisimetri untuk Fermion

Persyaratan antisimetri untuk fermion (seperti elektron) memiliki konsekuensi yang sangat penting. Jika dua elektron (misalnya 1 dan 2) memiliki set koordinat (spasial dan spin) yang persis sama, kita akan memiliki q₁ = q₂.

Persamaan antisimetri menjadi:

ψ(q₁, q₁, ...) = -ψ(q₁, q₁, ...)

Satu-satunya cara agar suatu angka sama dengan negatifnya sendiri adalah jika angka itu nol.

2ψ(q₁, q₁, ...) = 0 ⇒ ψ(q₁, q₁, ...) = 0

Ini berarti: Probabilitas menemukan dua elektron dengan spin yang sama (m_s yang sama) pada titik yang persis sama di ruang adalah nol. Persyaratan ini memaksa elektron dengan spin yang sama untuk "menjauhi" satu sama lain, yang sering disebut sebagai "Pauli repulsion" (tolakan Pauli).

^ Ke Atas

Aplikasi pada Atom Helium

Mari kita terapkan teorema spin-statistik pada atom Helium (He). Elektron adalah fermion, sehingga fungsi gelombang elektronik total (termasuk spin) harus antisimetris terhadap pertukaran kedua elektron.

Fungsi gelombang total dapat (sebagai aproksimasi) dipisahkan menjadi bagian spasial dan bagian spin:

ψ_total = ψ_spasial × ψ_spin

Agar ψ_total antisimetris, kita memiliki dua kemungkinan:

1. (Fungsi Spasial Simetris) × (Fungsi Spin Antisimetris)
2. (Fungsi Spasial Antisimetris) × (Fungsi Spin Simetris)

Fungsi Spin Dua Elektron

Kita perlu membangun fungsi spin untuk dua elektron (1 dan 2) yang merupakan fungsi eigen dari &Pcirc;₁₂ (yaitu, simetris atau antisimetris). Ada empat kombinasi dasar:

α(1)α(2)   |   β(1)β(2)   |   α(1)β(2)   |   β(1)α(2)

Dua fungsi pertama sudah simetris. Dua terakhir tidak simetris atau antisimetris. Kita harus mengambil kombinasi linier dari keduanya:

Hasilnya adalah empat fungsi spin yang "sah":

1. Fungsi Spin Simetris (Total 3)

Fungsi-fungsi ini membentuk keadaan "triplet":

α(1)α(2)
β(1)β(2)
2^-1/2 [ α(1)β(2) + β(1)α(2) ]

2. Fungsi Spin Antisimetris (Total 1)

Fungsi ini membentuk keadaan "singlet":

2^-1/2 [ α(1)β(2) - β(1)α(2) ]

---

Fungsi Gelombang Atom Helium

Keadaan Dasar (Ground State, 1s²)

Fungsi gelombang spasial orde-nol adalah ψ_spasial = 1s(1)1s(2). Jika kita menukar 1 dan 2, fungsinya menjadi 1s(2)1s(1), yang sama saja. Jadi, ψ_spasial adalah Simetris.

Karena ψ_spasial Simetris, ia harus dikalikan dengan ψ_spin yang Antisimetris (hanya ada satu).

Fungsi gelombang total orde-nol untuk ground state He adalah:

ψ⁽⁰⁾ = 1s(1)1s(2) ⋅ 2^-1/2 [ α(1)β(2) - β(1)α(2) ]

Keadaan ini adalah singlet dan nondegenerate (tidak terdegenerasi).

Keadaan Tereksitasi (Excited State, 1s2s)

Di sini kita memiliki dua kemungkinan fungsi spasial (dari Bab 9):

1. Fungsi Spasial Antisimetris:

   ψ_spasial(-) = 2^-1/2 [ 1s(1)2s(2) - 2s(1)1s(2) ]

   Fungsi ini harus dikalikan dengan salah satu dari tiga (3) fungsi spin Simetris (triplet).

   Ini menghasilkan level energi yang terdegenerasi tiga (triplet). Contohnya:

   ψ⁽⁰⁾_triplet = 2^-1/2 [ 1s(1)2s(2) - 2s(1)1s(2) ] ⋅ α(1)α(2)
2. Fungsi Spasial Simetris:

   ψ_spasial(+) = 2^-1/2 [ 1s(1)2s(2) + 2s(1)1s(2) ]

   Fungsi ini harus dikalikan dengan satu (1) fungsi spin Antisimetris (singlet).

   Ini menghasilkan level energi singlet (non-degenerate).

   ψ⁽⁰⁾_singlet = 2^-1/2 [ 1s(1)2s(2) + 2s(1)1s(2) ] ⋅ 2^-1/2 [ α(1)β(2) - β(1)α(2) ]

^ Ke Atas

Prinsip Eksklusi Pauli

Persyaratan antisimetri memiliki konsekuensi dramatis ketika kita beralih ke atom Lithium (Li).

Masalah dengan Konfigurasi 1s³

Jika kita mengabaikan spin dan antisimetri, kita mungkin menebak konfigurasi ground state Li adalah 1s³, dengan fungsi gelombang orde-nol ψ⁽⁰⁾ = 1s(1)1s(2)1s(3).

Perhitungan energi orde-nol + orde-pertama untuk konfigurasi ini memberikan E⁽⁰⁾ + E⁽¹⁾ = -214.3 eV.

Nilai eksperimental untuk energi ground state Li adalah -203.5 eV.

Hasil perhitungan (-214.3 eV) lebih rendah dari nilai sebenarnya (-203.5 eV). Ini adalah pelanggaran langsung terhadap Prinsip Variasi, yang menyatakan bahwa energi yang dihitung dari fungsi gelombang aproksimasi tidak boleh lebih rendah dari energi sejati.

Kesimpulan: Konfigurasi 1s³ secara fundamental salah dan tidak diizinkan.

Penjelasan: Antisimetri

Kesalahan kita adalah mengabaikan persyaratan antisimetri.

1. Fungsi spasial 1s(1)1s(2)1s(3) adalah simetris.
2. Agar ψ_total antisimetris, kita perlu mengalikannya dengan fungsi spin tiga elektron yang antisimetris.
3. Masalah Inti: Ternyata tidak mungkin untuk membangun fungsi spin tiga elektron yang sepenuhnya antisimetris dan tidak bernilai nol.

Jika kita mencoba membuatnya (misalnya, menggunakan spin α, β, α), kita akan selalu memiliki setidaknya dua fungsi spin yang identik. Saat dimasukkan ke dalam bentuk determinan (yang akan dibahas di Tab 5), ini akan menghasilkan dua kolom identik, yang membuat determinan (dan fungsi gelombang) bernilai nol.

Spin-Orbital dan Prinsip Eksklusi

Cara yang benar untuk membangun fungsi gelombang antisimetris adalah dengan menggunakan Spin-Orbital.

Spin-Orbital: Sebuah fungsi untuk satu elektron yang merupakan produk dari fungsi spasial (orbital) dan fungsi spin.
Contoh: f(1) = 1s(1)α(1).

Fungsi gelombang total untuk sistem n-elektron dibangun dari n spin-orbital.

Persyaratan antisimetri mengarah langsung ke Prinsip Eksklusi Pauli:

Tidak ada dua elektron yang dapat menempati (ditugaskan ke) spin-orbital yang sama.

Jika kita mencoba memberikan dua elektron spin-orbital yang sama (misal, 1sα dan 1sα), fungsi gelombang antisimetris yang dihasilkan akan menjadi nol.

Ini setara dengan pernyataan yang lebih dikenal:

Tidak ada dua elektron dalam sebuah atom yang boleh memiliki keempat bilangan kuantum yang sama (n, l, m_l, dan m_s).

Konfigurasi Ground State Lithium (Li)

Berdasarkan Prinsip Pauli:

• Elektron 1 dapat masuk ke spin-orbital 1sα.
• Elektron 2 dapat masuk ke spin-orbital 1sβ.
• Orbital spasial 1s sekarang "penuh".
• Elektron 3 harus masuk ke orbital spasial berikutnya, yaitu 2s. Ia bisa mengambil spin-orbital 2sα atau 2sβ.

Konfigurasi ground state Li yang benar adalah 1s²2s. Ini sesuai dengan semua bukti eksperimental dan menjelaskan mengapa Li memiliki satu elektron valensi yang mudah dilepas.

^ Ke Atas

Determinan Slater

Pada tahun 1929, John C. Slater menunjukkan bahwa cara sistematis untuk membangun fungsi gelombang orde-nol yang memenuhi persyaratan antisimetri adalah dengan menggunakan Determinan.

Untuk sistem n-elektron, fungsi gelombang (disebut Determinan Slater) dibangun dari n spin-orbital yang ditempati (sebut saja f, g, h, ...).

Sifat Determinan Slater

Determinan Slater untuk 3 elektron (misal, f, g, h) yang dinormalisasi adalah:

ψ = 1/√6 | f(1) g(1) h(1) | | f(2) g(2) h(2) | | f(3) g(3) h(3) |

Determinan ini secara otomatis memenuhi persyaratan fisika kuantum:

1. Antisimetris: Jika kita menukar dua elektron (misal, 1 dan 2), itu setara dengan menukar dua baris (baris 1 dan 2) dari determinan. Sifat dasar determinan adalah menukar dua baris akan mengalikan nilainya dengan -1. Ini adalah persyaratan antisimetri.
2. Prinsip Eksklusi Pauli: Jika dua elektron menempati spin-orbital yang sama (misal, f = g), maka determinan akan memiliki dua kolom yang identik. Sifat dasar determinan adalah jika dua kolom identik, nilai determinan adalah nol. Ini berarti keadaan seperti itu tidak ada.

Faktor normalisasi umum untuk determinan Slater orde-n (dengan spin-orbital ortonormal) adalah 1 / √(n!).

Contoh Determinan Slater

1. Ground State Helium (1s²)

Sistem 2-elektron (n=2), faktor normalisasi 1/√2.

Spin-orbital yang ditempati: f = 1sα dan g = 1sβ.

ψ⁽⁰⁾ = 1/√2 | 1s(1)α(1) 1s(1)β(1) | | 1s(2)α(2) 1s(2)β(2) |

Jika kita mengekspansi determinan ini (ad - bc):

ψ⁽⁰⁾ = 1/√2 [ (1s(1)α(1)) ⋅ (1s(2)β(2)) - (1s(1)β(1)) ⋅ (1s(2)α(2)) ]
ψ⁽⁰⁾ = 1s(1)1s(2) ⋅ { 1/√2 [ α(1)β(2) - β(1)α(2) ] }

Ini persis sama dengan fungsi (Simetris Spasial × Antisimetris Spin) yang kita temukan di Tab 3.

2. Ground State Lithium (1s²2s)

Sistem 3-elektron (n=3), faktor normalisasi 1/√6.

Spin-orbital yang ditempati: 1sα, 1sβ, dan 2sα.

ψ⁽⁰⁾ = 1/√6 | 1s(1)α(1) 1s(1)β(1) 2s(1)α(1) | | 1s(2)α(2) 1s(2)β(2) 2s(2)α(2) | | 1s(3)α(3) 1s(3)β(3) 2s(3)α(3) |

Perhatikan bahwa fungsi ini *bukan* produk sederhana dari bagian spasial dan spin, melainkan kombinasi linier dari 6 suku.

Notasi Singkat (Shorthand)

Menulis determinan penuh sangatlah melelahkan. Ada dua notasi singkat yang umum:

1. Notasi Bar: Fungsi tanpa bar menyiratkan spin α. Fungsi dengan bar (garis di atas) menyiratkan spin β.

   Contoh Li:

   ψ⁽⁰⁾ = 1/√6 | 1s(1) 1s(1) 2s(1) | | 1s(2) 1s(2) 2s(2) | | 1s(3) 1s(3) 2s(3) |

   (Catatan: Di sini, 1s(1) dengan bar di atasnya menunjukkan 1s(1)β(1))

2. Notasi "Ket": Cukup daftarkan spin-orbital yang terisi di dalam tanda "ket" atau garis vertikal. Ini menyiratkan seluruh determinan yang dinormalisasi. ψ⁽⁰⁾_Li = | 1s 1s 2s | ψ⁽⁰⁾_He = | 1s 1s |

^ Ke Atas

Momen Magnetik Spin & NMR

Momentum sudut (angular momentum) selalu terkait dengan momen magnetik. Sama seperti momentum sudut orbital (L) yang menghasilkan momen magnetik orbital (m_L), momentum sudut spin (S) juga menghasilkan momen magnetik spin (m_S).

Momen Magnetik Elektron (ESR)

Hubungan antara momen magnetik spin dan momentum sudut spin adalah:

m_S = -g_e (e / 2m_e) S

Di mana m_e adalah massa elektron, -e adalah muatan elektron, dan g_e adalah "faktor-g" elektron. Teori relativistik Dirac memprediksi g_e = 2, tetapi eksperimen dan teori yang lebih akurat menempatkannya sedikit lebih tinggi (g_e ≈ 2.0023).

Karena spin elektron dapat memiliki dua orientasi (m_s = +1/2 atau -1/2) dalam medan magnet, ini menciptakan dua level energi. Transisi di antara dua level energi spin elektron ini adalah dasar dari Spektroskopi ESR (Electron Spin Resonance). ESR berguna untuk mempelajari spesies dengan elektron tidak berpasangan, seperti radikal bebas.

Momen Magnetik Inti (NMR)

Banyak inti atom juga memiliki momentum sudut spin, yang dilambangkan dengan I.

• Bilangan kuantum spin inti (I) bisa berupa 0, 1/2, 1, 3/2, ...
• Contoh:
  • I = 1/2 untuk ¹H (proton), ¹³C, ¹⁹F
  • I = 1 untuk ²H (deuterium), ¹⁴N
  • I = 0 untuk ¹²C, ¹⁶O (inti dengan jumlah proton dan neutron genap)

Inti dengan I ≠ 0 memiliki momen magnetik inti (m_I) yang sebanding dengan spin-nya:

m_I = γ I   (dimana γ adalah rasio magnetogirik, konstanta untuk setiap inti)

Prinsip Dasar NMR

1. Pemisahan Energi (Splitting):

Ketika sebuah inti (seperti proton, ¹H, dengan I=1/2) ditempatkan dalam medan magnet eksternal B (biasanya diarahkan sepanjang sumbu-z), energinya bergantung pada orientasinya. Hamiltonian untuk interaksi ini adalah Ĥ = -γBÎ_z.

Nilai eigen energinya (level energi) adalah:

E = - γ ℏ B M_I

Untuk proton (I=1/2), M_I bisa +1/2 ("spin up") atau -1/2 ("spin down"), sehingga menciptakan dua level energi yang terpisah.

2. Resonansi (Absorpsi):

Jika radiasi elektromagnetik (gelombang radio) dengan frekuensi yang tepat (ν) diterapkan, sistem dapat menyerap energi dan "melompat" dari level energi rendah ke tinggi (transisi ΔM_I = ±1).

Frekuensi transisi (resonansi) ini adalah:

hν = |ΔE| ⇒ ν = ( |γ| / 2π ) B

Berikut adalah ilustrasi konsep NMR:

Geseran Kimia (Chemical Shift)

Frekuensi ν di atas adalah untuk inti yang terisolasi. Dalam sebuah molekul, inti "dilindungi" atau "diperisai" (shielded) dari medan magnet B oleh awan elektron di sekitarnya.

Medan magnet yang "dirasakan" oleh inti (B_felt) sedikit lebih lemah:

B_felt = B_eksternal - B_elektronik = (1 - σ_i) B

Dimana σ_i (sigma) adalah konstanta perisai (shielding).

Akibatnya, frekuensi resonansi untuk inti i adalah:

ν_i = ( |γ| / 2π ) (1 - σ_i) B

Inti dalam lingkungan elektronik yang berbeda (misalnya, proton di -CH₃ vs proton di -CH₂ dalam etanol) akan memiliki nilai σ yang berbeda, sehingga mereka beresonansi pada frekuensi yang sedikit berbeda. Perbedaan frekuensi inilah yang disebut geseran kimia (chemical shift).

Pemecahan Spin-Spin (Spin-Spin Coupling)

Puncak NMR sering kali tidak muncul sebagai satu garis tunggal, tetapi sebagai multiplet (doublet, triplet, kuartet, dll.). Ini disebabkan oleh pemecahan spin-spin.

• Momen magnetik dari inti tetangga (misalnya, proton di C_A) menciptakan medan magnet kecil tambahan yang memengaruhi inti target (misalnya, proton di C_B).
• Medan tambahan ini "memecah" (split) level energi inti target.
• Aturan n+1: Sekelompok n proton tetangga yang ekuivalen akan memecah sinyal proton target menjadi n+1 garis.

Contoh: Etanol (CH₃CH₂OH)

• Sinyal CH₃: Memiliki n=2 tetangga (proton CH₂). Sinyal ini dipecah menjadi (2+1) = 3 garis (triplet), dengan rasio intensitas 1:2:1.
• Sinyal CH₂: Memiliki n=3 tetangga (proton CH₃). Sinyal ini dipecah menjadi (3+1) = 4 garis (kuartet), dengan rasio intensitas 1:3:3:1.
• Sinyal OH: Seringkali tidak memecah (atau dipecah) karena pertukaran proton yang cepat dengan molekul lain (misalnya, jejak air).

^ Ke Atas

Soal Latihan

1. Sebutkan apakah partikel berikut ini boson atau fermion:

   (a) elektron, (b) proton, (c) foton, (d) inti ¹²C, (e) inti ¹³C, (f) atom ⁴He (terdiri dari 2 proton, 2 neutron, 2 elektron).

   Jawaban dan Pembahasan:

   Kuncinya adalah jumlah total fermion (partikel dengan spin 1/2, seperti proton, neutron, elektron). Partikel komposit adalah fermion jika mengandung jumlah fermion ganjil, dan boson jika mengandung jumlah fermion genap.

   • (a) Elektron: Memiliki spin s=1/2. Ini adalah partikel elementer fermion.
   • (b) Proton: Memiliki spin s=1/2. Ini adalah fermion.
   • (c) Foton: Memiliki spin s=1. Ini adalah boson.
   • (d) Inti ¹²C: Terdiri dari 6 proton (fermion) + 6 neutron (fermion). Total 12 fermion (jumlah genap). Ini adalah boson.
   • (e) Inti ¹³C: Terdiri dari 6 proton (fermion) + 7 neutron (fermion). Total 13 fermion (jumlah ganjil). Ini adalah fermion.
   • (f) Atom ⁴He: Terdiri dari 2 proton + 2 neutron + 2 elektron. Total 6 fermion (jumlah genap). Ini adalah boson.

2. Klasifikasikan fungsi dua-elektron berikut sebagai simetris, antisimetris, atau bukan keduanya (terhadap pertukaran partikel 1 dan 2). Asumsikan f dan g adalah fungsi spasial yang berbeda.

   (a) f(1)f(2) [ α(1)β(2) - β(1)α(2) ]

   (b) [ f(1)g(2) - g(1)f(2) ] α(1)α(2)

   (c) f(1)g(2) α(1)β(2)

   Jawaban dan Pembahasan:

   Kita periksa simetri bagian spasial dan spin secara terpisah. (Simetris = S, Antisimetris = A). Aturan perkalian simetri: S×S=S, A×A=S, S×A=A.

   • (a) Bagian Spasial: f(1)f(2) ⇒ Simetris.
     Bagian Spin: [ α(1)β(2) - β(1)α(2) ] ⇒ Antisimetris.
     Total: (S) × (A) = Antisimetris. (Ini adalah fungsi yang valid untuk ground state He).
   • (b) Bagian Spasial: [ f(1)g(2) - g(1)f(2) ] ⇒ Antisimetris.
     Bagian Spin: α(1)α(2) ⇒ Simetris.
     Total: (A) × (S) = Antisimetris. (Ini adalah fungsi yang valid untuk excited state He).
   • (c) Bagian Spasial: f(1)g(2) ⇒ Bukan keduanya.
     Bagian Spin: α(1)β(2) ⇒ Bukan keduanya.
     Total: (Bukan) × (Bukan) = Bukan keduanya. (Fungsi ini tidak dapat diterima untuk partikel identik).

3. Tuliskan empat (4) fungsi spin yang mungkin untuk sistem dua elektron. Kelompokkan mana yang simetris (keadaan triplet) dan mana yang antisimetris (keadaan singlet).

   Jawaban dan Pembahasan:

   Empat fungsi spin yang dinormalisasi dan memiliki simetri yang pasti adalah:

   Simetris (Total 3 fungsi, Triplet):

   1. α(1)α(2)
   2. β(1)β(2)
   3. 2^-1/2 [ α(1)β(2) + β(1)α(2) ]

   Antisimetris (Total 1 fungsi, Singlet):

   1. 2^-1/2 [ α(1)β(2) - β(1)α(2) ]

4. Tuliskan (dalam notasi shorthand "ket" yang paling ringkas) Determinan Slater untuk keadaan dasar atom Berilium (Be, Z=4) dan atom Neon (Ne, Z=10).

   Jawaban dan Pembahasan:

   Notasi "ket" |...| menyiratkan determinan lengkap yang dinormalisasi, dengan mendaftar semua spin-orbital yang terisi. Spin α ditulis tanpa bar, dan spin β ditulis dengan bar.

   (a) Berilium (Be, Z=4):

   • Konfigurasi elektron: 1s² 2s²
   • Empat spin-orbital yang terisi adalah: 1sα, 1sβ, 2sα, 2sβ.
   • Notasi shorthand: | 1s 1s 2s 2s |

   (b) Neon (Ne, Z=10):

   • Konfigurasi elektron: 1s² 2s² 2p⁶
   • Sepuluh spin-orbital yang terisi adalah: 1sα, 1sβ, 2sα, 2sβ, 2p_xα, 2p_xβ, 2p_yα, 2p_yβ, 2p_zα, 2p_zβ.
   • Notasi shorthand: | 1s 1s 2s 2s 2p_x 2p_x 2p_y 2p_y 2p_z 2p_z |

^ Ke Atas