Bab 1 Persamaan Schrödinger

PDF ID PDF EN

Daftar Isi

Bab 1 Persamaan Schrödinger

1.1 Kimia Kuantum

Pada akhir abad ketujuh belas, Isaac Newton menemukan **mekanika klasik**, yaitu hukum-hukum gerak benda-benda makroskopis. Pada awal abad kedua puluh, para fisikawan menemukan bahwa mekanika klasik tidak secara tepat menggambarkan perilaku partikel yang sangat kecil seperti elektron dan inti atom serta molekul. Perilaku partikel-partikel tersebut dijelaskan oleh seperangkat hukum yang disebut **mekanika kuantum**. **Kimia kuantum** menerapkan mekanika kuantum pada masalah-masalah dalam kimia.

Pengaruh kimia kuantum terlihat jelas di semua cabang kimia.

  • Kimiawan Fisik menggunakan mekanika kuantum untuk menghitung (dengan bantuan mekanika statistik) sifat-sifat termodinamika (misalnya, entropi, kapasitas panas) gas; untuk menginterpretasikan spektrum molekuler, sehingga memungkinkan penentuan eksperimental sifat-sifat molekuler (misalnya, geometri molekuler, momen dipol, hambatan rotasi internal, perbedaan energi antara isomer konformasi); untuk menghitung sifat-sifat molekuler secara teoritis; untuk menghitung sifat-sifat keadaan transisi dalam reaksi kimia, sehingga memungkinkan estimasi konstanta laju; untuk memahami gaya antarmolekul; dan untuk menangani ikatan dalam padatan.
  • Kimiawan Organik menggunakan mekanika kuantum untuk memperkirakan stabilitas relatif molekul, untuk menghitung sifat-sifat intermediet reaksi, untuk menyelidiki mekanisme reaksi kimia, dan untuk menganalisis serta memprediksi spektrum resonansi magnetik nuklir.
  • Kimiawan Analitik banyak menggunakan metode spektroskopi. Frekuensi dan intensitas garis-garis dalam spektrum dapat dipahami dan diinterpretasikan dengan benar hanya melalui penggunaan mekanika kuantum.
  • Kimiawan Anorganik menggunakan teori medan ligan, sebuah metode kuantum-mekanis perkiraan, untuk memprediksi dan menjelaskan sifat-sifat ion kompleks logam transisi.
  • Meskipun ukuran molekul-molekul yang penting secara biologis membuat perhitungan kuantum-mekanis pada mereka sangat sulit, Biokimiawan mulai mendapatkan manfaat dari studi kuantum-mekanis tentang konformasi molekul biologis, pengikatan substrat enzim, dan solvasi molekul biologis.

Mekanika kuantum menentukan sifat-sifat nanomaterial (objek dengan setidaknya satu dimensi dalam kisaran 1 hingga 100 nm), dan metode perhitungan untuk menangani nanomaterial sedang dikembangkan. Ketika satu atau lebih dimensi suatu material turun di bawah 100 nm (dan terutama di bawah 20 nm), perubahan dramatis dalam sifat optik, elektronik, kimia, dan sifat lainnya dari material curah dapat terjadi. Objek semikonduktor atau logam dengan satu dimensi dalam kisaran 1 hingga 100 nm disebut quantum well; satu dengan dua dimensi dalam kisaran ini disebut quantum wire; dan satu dengan ketiga dimensi dalam kisaran ini disebut quantum dot. Kata "kuantum" dalam nama-nama ini menunjukkan peran kunci yang dimainkan oleh mekanika kuantum dalam menentukan sifat-sifat material tersebut. Banyak orang telah berspekulasi bahwa nanosains dan nanoteknologi akan membawa revolusi industri berikutnya.

Peningkatan pesat dalam kecepatan komputer dan pengembangan metode-metode baru (seperti teori fungsional densitas, Bagian 16.4) untuk melakukan perhitungan molekuler telah menjadikan kimia kuantum sebagai alat praktis di semua bidang kimia. Saat ini, beberapa perusahaan menjual perangkat lunak kimia kuantum untuk melakukan perhitungan kimia kuantum molekuler. Program-program ini dirancang untuk digunakan oleh semua jenis kimiawan, bukan hanya kimiawan kuantum. Karena peran kimia kuantum dan metode teoretis serta komputasi terkait yang berkembang pesat, American Chemical Society mulai menerbitkan jurnal baru, Journal of Chemical Theory and Computation, pada tahun 2005.

Mekanika kuantum … mendasari hampir semua sains dan teknologi modern. Ini mengatur perilaku transistor dan sirkuit terpadu … dan merupakan … dasar kimia dan biologi modern (Stephen Hawking, A Brief History of Time, 1988, Bantam, bab 4).

1.2 Latar Belakang Sejarah Mekanika Kuantum

Pengembangan mekanika kuantum dimulai pada tahun 1900 dengan studi Planck tentang cahaya yang dipancarkan oleh benda padat yang dipanaskan, jadi kita mulai dengan membahas sifat cahaya. Pada tahun 1803, Thomas Young memberikan bukti meyakinkan tentang sifat gelombang cahaya dengan mengamati difraksi dan interferensi ketika cahaya melewati dua lubang jarum yang berdekatan. (Difraksi adalah pembelokan gelombang di sekitar rintangan. Interferensi adalah penggabungan dua gelombang dengan frekuensi yang sama untuk menghasilkan gelombang yang gangguannya di setiap titik dalam ruang adalah jumlah aljabar atau vektor dari gangguan di titik tersebut yang dihasilkan dari setiap gelombang yang berinterferensi. Lihat buku fisika tahun pertama mana pun.)

Pada tahun 1864, James Clerk Maxwell menerbitkan empat persamaan, yang dikenal sebagai persamaan Maxwell, yang menyatukan hukum-hukum listrik dan magnetisme. Persamaan Maxwell memprediksi bahwa muatan listrik yang dipercepat akan memancarkan energi dalam bentuk gelombang elektromagnetik yang terdiri dari medan listrik dan magnet yang berosilasi. Kecepatan yang diprediksi oleh persamaan Maxwell untuk gelombang-gelombang ini ternyata sama dengan kecepatan cahaya yang diukur secara eksperimental. Maxwell menyimpulkan bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik. Pada tahun 1888, Heinrich Hertz mendeteksi gelombang radio yang dihasilkan oleh muatan listrik yang dipercepat dalam percikan api, seperti yang diprediksi oleh persamaan Maxwell. Ini meyakinkan para fisikawan bahwa cahaya memang adalah gelombang elektromagnetik.

Semua gelombang elektromagnetik bergerak dengan kecepatan c = 2.998 × 108 m/s dalam vakum. Frekuensi ν dan panjang gelombang λ dari gelombang elektromagnetik dihubungkan oleh

λν = c (1.1)

(Persamaan yang diapit dalam kotak harus dihafal. Apendiks memberikan alfabet Yunani.) Berbagai label konvensional diterapkan pada gelombang elektromagnetik tergantung pada frekuensinya. Secara urutan frekuensi yang meningkat adalah gelombang radio, gelombang mikro, radiasi inframerah, cahaya tampak, radiasi ultraviolet, sinar-X, dan sinar gamma. Kita akan menggunakan istilah cahaya untuk menunjukkan segala jenis radiasi elektromagnetik. Panjang gelombang radiasi tampak dan ultraviolet sebelumnya diberikan dalam angstrom (Å) dan sekarang diberikan dalam nanometer (nm):

1 nm = 10-9 m,   1 Å = 10-10 m = 0.1 nm (1.2)

Pada tahun 1890-an, para fisikawan mengukur intensitas cahaya pada berbagai frekuensi yang dipancarkan oleh benda hitam yang dipanaskan pada suhu tetap, dan melakukan pengukuran ini pada beberapa suhu. Benda hitam adalah objek yang menyerap semua cahaya yang jatuh padanya. Sebuah perkiraan yang baik untuk benda hitam adalah rongga dengan lubang kecil. Pada tahun 1896, fisikawan Wien mengusulkan persamaan berikut untuk ketergantungan radiasi benda hitam pada frekuensi cahaya dan suhu benda hitam:

I = a ν3 e-bν/T

di mana a dan b adalah konstanta empiris, dan I dν adalah energi dengan frekuensi dalam kisaran ν hingga ν+dν yang dipancarkan per satuan waktu dan per satuan luas permukaan oleh benda hitam, dengan dν adalah kisaran frekuensi yang sangat kecil. Rumus Wien memberikan kesesuaian yang baik dengan data radiasi benda hitam yang tersedia pada tahun 1896, tetapi argumen teoretisnya untuk rumus tersebut dianggap tidak memuaskan.

Pada tahun 1899–1900, pengukuran radiasi benda hitam diperluas ke frekuensi yang lebih rendah dari yang sebelumnya diukur, dan data frekuensi rendah menunjukkan penyimpangan signifikan dari rumus Wien. Penyimpangan ini menyebabkan fisikawan Max Planck mengusulkan pada Oktober 1900 rumus berikut:

I = a ν3ebν/T - 1

yang ditemukan memberikan kesesuaian yang sangat baik dengan data pada semua frekuensi. Setelah mengusulkan rumus ini, Planck mencari justifikasi teoretis untuknya. Pada Desember 1900, ia mempresentasikan derivasi teoretis persamaannya kepada German Physical Society. Planck mengasumsikan pemancar dan penyerap radiasi dalam benda hitam sebagai muatan listrik yang berosilasi secara harmonis (resonator) dalam kesetimbangan dengan radiasi elektromagnetik dalam rongga. Ia mengasumsikan bahwa energi total resonator-resonator yang frekuensinya ν terdiri dari N elemen energi yang tidak dapat dibagi, masing-masing dengan besaran hν, di mana N adalah bilangan bulat dan h (**konstanta Planck**) adalah konstanta baru dalam fisika. Planck mendistribusikan elemen-elemen energi ini di antara resonator. Akibatnya, ini membatasi energi setiap resonator menjadi kelipatan bilangan bulat dari hν (meskipun Planck tidak secara eksplisit mengatakan ini). Jadi energi setiap resonator **terkuantisasi**, yang berarti bahwa hanya nilai-nilai diskrit tertentu yang diizinkan untuk energi resonator. Teori Planck menunjukkan bahwa a = 2πh/c2 dan b = h/k, di mana k adalah konstanta Boltzmann. Dengan menyesuaikan kurva benda hitam eksperimental, Planck menemukan h = 6.6 × 10-34 J · s.

Karya Planck biasanya dianggap sebagai awal mekanika kuantum. Namun, para sejarawan fisika telah memperdebatkan apakah Planck pada tahun 1900 memandang kuantisasi energi sebagai deskripsi realitas fisik atau hanya sebagai perkiraan matematis yang memungkinkannya memperoleh rumus radiasi benda hitam yang benar. [Lihat O. Darrigol, Centaurus, 43, 219 (2001); C. A. Gearhart, Phys. Perspect., 4, 170 (2002) (tersedia daring di employees.csbsju.edu/cgearhart/Planck/PQH.pdf); S. G. Brush, Am. J. Phys., 70, 119 (2002) (www.punsterproductions.com/~sciencehistory/cautious.htm).] Sejarawan fisika Kragh mencatat bahwa "Jika sebuah revolusi terjadi dalam fisika pada Desember 1900, tidak ada yang menyadarinya. Planck tidak terkecuali, dan pentingnya yang diberikan pada karyanya sebagian besar adalah rekonstruksi historis" (H. Kragh, Physics World, Des. 2000, hal. 31). Konsep kuantisasi energi bertentangan langsung dengan semua gagasan fisika sebelumnya. Menurut mekanika Newton, energi benda material dapat bervariasi secara kontinu. Namun, hanya dengan hipotesis energi terkuantisasi kita memperoleh kurva radiasi benda hitam yang benar.

Aplikasi kedua kuantisasi energi adalah **efek fotolistrik**. Dalam efek fotolistrik, cahaya yang menyinari logam menyebabkan emisi elektron. Energi gelombang berbanding lurus dengan intensitasnya dan tidak terkait dengan frekuensinya, sehingga gambaran gelombang elektromagnetik cahaya mengarahkan kita untuk mengharapkan bahwa energi kinetik fotoelektron yang dipancarkan akan meningkat seiring dengan peningkatan intensitas cahaya tetapi tidak akan berubah seiring dengan perubahan frekuensi cahaya. Sebaliknya, diamati bahwa energi kinetik elektron yang dipancarkan tidak tergantung pada intensitas cahaya tetapi meningkat seiring dengan peningkatan frekuensi cahaya. Pada tahun 1905, Einstein menunjukkan bahwa pengamatan ini dapat dijelaskan dengan menganggap cahaya terdiri dari entitas mirip partikel (disebut **foton**), dengan setiap foton memiliki energi

Efoton = hν (1.3)

Ketika sebuah elektron dalam logam menyerap foton, sebagian energi foton yang diserap digunakan untuk mengatasi gaya-gaya yang menahan elektron dalam logam; sisanya muncul sebagai energi kinetik elektron setelah meninggalkan logam. Kekekalan energi memberikan

hν = φ + T

di mana φ adalah energi minimum yang dibutuhkan oleh elektron untuk keluar dari logam (**fungsi kerja** logam), dan T adalah energi kinetik maksimum elektron yang dipancarkan. Peningkatan frekuensi cahaya ν meningkatkan energi foton dan karenanya meningkatkan energi kinetik elektron yang dipancarkan. Peningkatan intensitas cahaya pada frekuensi tetap meningkatkan laju foton menumbuk logam dan karenanya meningkatkan laju emisi elektron, tetapi tidak mengubah energi kinetik setiap elektron yang dipancarkan. (Menurut Kragh, "kasus kuat dapat dibuat bahwa Einsteinlah yang pertama kali mengenali esensi teori kuantum"; Kragh, Physics World, Des. 2000, hal. 31.) Efek fotolistrik menunjukkan bahwa cahaya dapat menunjukkan perilaku mirip partikel selain perilaku mirip gelombang yang ditunjukkannya dalam eksperimen difraksi.

[...]

Sebuah jalan keluar yang mungkin dari kesulitan ini diusulkan oleh Niels Bohr pada tahun 1913, ketika ia menerapkan konsep kuantisasi energi pada atom hidrogen. Bohr berasumsi bahwa energi elektron dalam atom hidrogen terkuantisasi, dengan elektron dibatasi untuk bergerak hanya pada salah satu dari sejumlah lingkaran yang diizinkan. Ketika sebuah elektron melakukan transisi dari satu orbit Bohr ke orbit lain, sebuah foton cahaya yang frekuensinya ν memenuhi

Eatas - Ebawah = hν (1.4)

diserap atau dipancarkan, di mana Eatas dan Ebawah adalah energi keadaan atas dan bawah (kekekalan energi). [...] Menggunakan (1.4), ia mendapatkan kesesuaian dengan spektrum hidrogen yang diamati. Namun, upaya untuk menyesuaikan spektrum helium menggunakan teori Bohr gagal. Selain itu, teori tersebut tidak dapat menjelaskan ikatan kimia dalam molekul.

Kegagalan model Bohr muncul dari penggunaan mekanika klasik untuk menggambarkan gerakan elektronik dalam atom. Bukti spektrum atom, yang menunjukkan frekuensi diskrit, menunjukkan bahwa hanya energi gerakan tertentu yang diizinkan; energi elektronik terkuantisasi. Namun, mekanika klasik memungkinkan rentang energi yang kontinu. Kuantisasi memang terjadi dalam gerakan gelombang — misalnya, frekuensi fundamental dan nada atas dari senar biola. Oleh karena itu Louis de Broglie menyarankan pada tahun 1923 bahwa gerakan elektron mungkin memiliki aspek gelombang; bahwa sebuah elektron bermassa m dan kecepatan v akan memiliki panjang gelombang

λ = hmv = hp (1.5)

yang terkait dengannya, di mana p adalah momentum linear. De Broglie sampai pada Persamaan (1.5) dengan penalaran analog dengan foton. Energi foton dapat dinyatakan, menurut teori relativitas khusus Einstein, sebagai E = pc, di mana c adalah kecepatan cahaya dan p adalah momentum foton. Menggunakan Efoton = hν, kita mendapatkan pc = hν = hc/λ dan λ = h/p untuk foton yang bergerak dengan kecepatan c. Persamaan (1.5) adalah persamaan yang sesuai untuk elektron.

[...] Sebuah video tentang pembentukan pola interferensi yang melibatkan molekul C32H18N8 dapat dilihat di www.youtube.com/watch?v=vCiOMQIRU7I.

Jadi elektron berperilaku dalam beberapa hal seperti partikel dan dalam hal lain seperti gelombang. Kita dihadapkan pada **duality gelombang-partikel** materi (dan cahaya) yang tampaknya kontradiktif. [...]

1.3 Prinsip Ketidakpastian

Mari kita pertimbangkan efek dualitas gelombang-partikel pada upaya untuk mengukur secara simultan koordinat x dan komponen x dari momentum linear partikel mikroskopis. [...]

Partikel yang melewati celah dengan lebar w memiliki ketidakpastian w dalam koordinat x mereka pada saat melewati celah. Menyebut sebaran nilai x ini Δx, kita memiliki Δx = w. [...] kita akan mengambil setengah dari sebaran nilai momentum dalam puncak difraksi pusat sebagai ukuran ketidakpastian Δpx dalam komponen x dari momentum: Δpx = p \sin α. Oleh karena itu, pada celah, di mana pengukuran dilakukan,

Δx Δpx = pw \sin α (1.6)

[...] Menyetel BC sama dengan &frac{1}{2}λ, kita memiliki w \sin α = λ, dan Persamaan (1.6) menjadi Δx Δpx = pλ. Panjang gelombang λ diberikan oleh hubungan de Broglie λ = h/p, jadi Δx Δpx = h. Karena ketidakpastian belum didefinisikan secara tepat, tanda kesetaraan tidak sepenuhnya dibenarkan. Sebaliknya kita menulis

Δx Δpx ≳ h (1.7)

menunjukkan bahwa produk ketidakpastian dalam x dan px adalah dalam urutan besaran konstanta Planck. [...] Batasan ini adalah **prinsip ketidakpastian**, yang ditemukan pada tahun 1927 oleh Werner Heisenberg.

[...] Pengukuran mengubah keadaan sistem.

1.4 Persamaan Schrödinger Bergantung Waktu

Mekanika klasik hanya berlaku untuk partikel makroskopis. Untuk partikel mikroskopis kita membutuhkan bentuk mekanika baru, yang disebut mekanika kuantum. [...]

Dalam mekanika klasik, gerakan partikel diatur oleh hukum kedua Newton:

F = ma = m d2xdt2 (1.8)

[...] Ini memperkenalkan dua konstanta arbitrer c1 dan c2 ke dalam solusi, dan

x = g(t, c1, c2) (1.9)

[...] Jika kita tahu bahwa pada t0 partikel berada di titik x0, kita memiliki

x0 = g(t0, c1, c2) (1.10)

[...] Jika kita juga tahu bahwa pada waktu t0 partikel memiliki kecepatan v0, maka kita memiliki hubungan tambahan

v0 = ddt g(t, c1, c2) t=t0 (1.11)

[...] Energi potensial mekanika klasik V dari partikel yang bergerak dalam satu dimensi didefinisikan untuk memenuhi

&partial;V(x, t)&partial;x = -F(x, t) (1.12)

[...] Dengan pengetahuan yang tepat tentang keadaan sistem mekanika klasik saat ini, kita dapat memprediksi keadaan masa depannya. Namun, prinsip ketidakpastian Heisenberg menunjukkan bahwa kita tidak dapat menentukan secara simultan posisi dan kecepatan yang tepat dari partikel mikroskopis, sehingga pengetahuan yang dibutuhkan oleh mekanika klasik untuk memprediksi gerakan masa depan suatu sistem tidak dapat diperoleh. Kita harus puas dalam mekanika kuantum dengan sesuatu yang kurang dari prediksi lengkap gerakan masa depan yang tepat.

Pendekatan kita terhadap mekanika kuantum adalah dengan mempostulatkan prinsip-prinsip dasar dan kemudian menggunakan postulat-postulat ini untuk menyimpulkan konsekuensi yang dapat diuji secara eksperimental seperti tingkat energi atom. Untuk menggambarkan keadaan sistem dalam mekanika kuantum, kita mempostulatkan keberadaan fungsi Ψ dari koordinat partikel yang disebut **fungsi keadaan** atau **fungsi gelombang** (wavefunction). Karena keadaan akan, secara umum, berubah seiring waktu, Ψ juga merupakan fungsi waktu. Untuk sistem satu partikel, satu dimensi, kita memiliki Ψ = Ψ(x, t). [...]

Hukum kedua Newton memberitahu kita bagaimana menemukan keadaan masa depan sistem mekanika klasik dari pengetahuan tentang keadaan saat ini. Untuk menemukan keadaan masa depan sistem mekanika kuantum dari pengetahuan tentang keadaan saat ini, kita menginginkan persamaan yang memberitahu kita bagaimana fungsi gelombang berubah seiring waktu. Untuk sistem satu partikel, satu dimensi, persamaan ini dipostulatkan sebagai

-&frac{ℏ}i &partial;Ψ(x, t)&partial;t = -ℏ22m &partial;2Ψ(x, t)&partial;x2 + V(x, t)Ψ(x, t) (1.13)

di mana konstanta ℏ (h-bar) didefinisikan sebagai

ℏ ≡ h2π (1.14)

[...] Dalam persamaan ini, yang dikenal sebagai **persamaan Schrödinger bergantung waktu** (atau persamaan gelombang Schrödinger), i = &sqrt;-1, m adalah massa partikel, dan V(x, t) adalah fungsi energi potensial sistem. [...]

Born mempostulatkan bahwa untuk sistem satu partikel, satu dimensi,

|Ψ(x, t)|2 dx (1.15)

memberikan **probabilitas** pada waktu t untuk menemukan partikel di wilayah sumbu x yang terletak antara x dan x+dx. [...] Fungsi |Ψ(x, t)|2 adalah **densitas probabilitas** untuk menemukan partikel di berbagai tempat pada sumbu x. [...]

[...] Mekanika kuantum bersifat **statistik**. Mengetahui keadaan, kita tidak dapat memprediksi hasil pengukuran posisi dengan kepastian; kita hanya dapat memprediksi probabilitas berbagai hasil yang mungkin. [...]

1.5 Persamaan Schrödinger Bebas Waktu

Persamaan Schrödinger bergantung waktu (1.13) terlihat menakutkan. Untungnya, banyak aplikasi mekanika kuantum dalam kimia tidak menggunakan persamaan ini. Sebaliknya, **persamaan Schrödinger bebas waktu** yang lebih sederhana digunakan. [...]

Kita mulai dengan membatasi diri pada kasus khusus di mana energi potensial V bukan fungsi waktu tetapi hanya bergantung pada x. [...] Persamaan Schrödinger bergantung waktu berbunyi

-&frac{ℏ}i &partial;Ψ(x, t)&partial;t = -ℏ22m &partial;2Ψ(x, t)&partial;x2 + V(x)Ψ(x, t) (1.16)

Kita sekarang membatasi diri untuk mencari solusi dari (1.16) yang dapat ditulis sebagai produk dari fungsi waktu dan fungsi x:

Ψ(x, t) = f(t)ψ(x) (1.17)

[...] Dengan menyamakan sisi kanan persamaan hasil pembagian dengan konstanta E, kita memiliki

-ℏ22m d2ψ(x)dx2 + V(x)ψ(x) = Eψ(x) (1.19)

Persamaan (1.19) adalah **persamaan Schrödinger bebas waktu** untuk partikel tunggal bermassa m yang bergerak dalam satu dimensi.

Apa signifikansi konstanta E? [...] kita mempostulatkan bahwa E adalah **energi** sistem. [...] fungsi gelombang berbentuk

Ψ(x, t) = e-iEt/ℏ ψ(x) (1.20)

dan fungsi gelombang ini sesuai dengan keadaan energi konstan E. [...] Kuadrat nilai absolut dari kuantitas kompleks diberikan oleh produk kuantitas tersebut dengan konjugat kompleksnya, konjugat kompleks dibentuk dengan mengganti i dengan -i di mana pun ia muncul. [...]

|Ψ|2 = Ψ* Ψ (1.21)

[...] Untuk keadaan berbentuk (1.20),

|Ψ(x, t)|2 = |ψ(x)|2

Dalam menurunkan (1.22), kita berasumsi bahwa E adalah bilangan riil, [...] Oleh karena itu untuk keadaan berbentuk (1.20), densitas probabilitas diberikan oleh |ψ(x)|2 dan tidak berubah seiring waktu. Keadaan seperti itu disebut keadaan stasioner. [...]

1.6 Probabilitas

Probabilitas memainkan peran mendasar dalam mekanika kuantum. Bagian ini meninjau matematika probabilitas. [...]

[...] kita berbicara tentang probabilitas menemukan partikel dalam interval kecil sumbu x yang terletak antara x dan x+dx, dx menjadi elemen panjang yang sangat kecil. Probabilitas ini secara alami akan sebanding dengan panjang interval, dx, dan akan bervariasi untuk daerah yang berbeda pada sumbu x. Oleh karena itu probabilitas bahwa partikel akan ditemukan antara x dan x+dx sama dengan g(x) dx, di mana g(x) adalah fungsi tertentu yang memberitahu bagaimana probabilitas bervariasi pada sumbu x. Fungsi g(x) disebut **densitas probabilitas**, karena ini adalah probabilitas per satuan panjang. [...] Mekanika kuantum mempostulatkan bahwa densitas probabilitas adalah |Ψ|2 [Persamaan (1.15)].

Berapa probabilitas bahwa partikel terletak di beberapa wilayah ruang terbatas a ≤ x ≤ b? [...] Ini hanyalah definisi integral tentu

ab |Ψ|2 dx = Pr(a ≤ x ≤ b) (1.23)

di mana Pr menunjukkan probabilitas. Probabilitas 1 menunjukkan kepastian. Karena pasti bahwa partikel berada di suatu tempat pada sumbu x, kita memiliki persyaratan

-∞∞ |Ψ|2 dx = 1 (1.24)

Ketika Ψ memenuhi (1.24), dikatakan ternormalisasi. [...]

Contoh

Sistem satu partikel, satu dimensi memiliki Ψ = a-1/2 e-|x|/a pada t=0, di mana a=1.0000 nm. Pada t=0, posisi partikel diukur. (a) Temukan probabilitas bahwa nilai yang diukur terletak antara x=1.5000 nm dan x=1.5001 nm. (b) Temukan probabilitas bahwa nilai yang diukur adalah antara x=0 dan x=2 nm. (c) Verifikasi bahwa Ψ ternormalisasi.

Solusi:

(a) Dalam interval kecil ini, [...] Probabilitas yang diinginkan diberikan oleh (1.15) sebagai

|Ψ|2 dx = (a-1/2 e-|x|/a)2 dx = a-1 e-2|x|/a dx
= (1 nm)-1 e-2(1.5 nm)/(1 nm) (0.0001 nm)
= 4.979 × 10-6

(Lihat juga Prob. 1.14.)

(b) Penggunaan Persamaan (1.23) dan |x|=x untuk x ≥ 0 memberikan

Pr(0 ≤ x ≤ 2 nm) = 02 nm |Ψ|2 dx = a-1 02 nm e-2x/a dx
= -12 e-2x/a 02 nm
= -12 (e-4 - 1) = 0.4908

(c) Penggunaan -∞∞ f(x) dx = -∞0 f(x) dx + 0∞ f(x) dx, |x|=-x untuk x < 0, dan |x|=x untuk x ≥ 0, memberikan

-∞∞ |Ψ|2 dx = a-1 -∞0 e2x/a dx + a-1 0∞ e-2x/a dx
= a-1 12 a e2x/a -∞0 + a-1 -12 a e-2x/a 0∞
= 12 + 12 = 1

Latihan

Untuk sistem yang fungsi keadaannya pada saat pengukuran posisi adalah Ψ = (32a3/π)1/4 x e-ax2, di mana a=1.0000 nm-2, temukan probabilitas bahwa partikel ditemukan antara x=1.2000 nm dan 1.2001 nm. Perlakukan interval tersebut sebagai infinitesimal. (Jawaban: 0.0000258.)

1.7 Bilangan Kompleks

Kita telah melihat bahwa fungsi gelombang bisa kompleks, jadi kita sekarang meninjau beberapa sifat bilangan kompleks. Bilangan kompleks z adalah bilangan berbentuk z = x+iy, di mana i ≡ &sqrt;-1

z = x+iy,   di mana i ≡ &sqrt;-1 (1.25)

[...] **Bilangan riil** dan **imajiner murni** adalah kasus khusus dari bilangan kompleks. [...] x dan y disebut **bagian riil** dan **imajiner** dari z, masing-masing: x=Re(z); y=Im(z).

[...] jarak r dari titik z dari titik asal disebut **nilai absolut** atau **modulus** dari z dan dilambangkan dengan |z|; sudut θ yang dibentuk oleh vektor radius ke titik z dengan sumbu horizontal positif disebut **fase** atau **argumen** dari z. Kita memiliki

|z| = r = &sqrt;x2+y2,   tan θ = y/x (1.26)

Jadi kita dapat menulis z=x+iy sebagai

z = r cos θ + i r sin θ = r eiθ (1.27)

karena (Prob. 4.3)

eiθ = cos θ + i sin θ (1.28)

Jika z=x+iy, **konjugat kompleks** z* dari bilangan kompleks z didefinisikan sebagai

z* ≡ x-iy = r e-iθ (1.29)

[...] Membentuk produk z dan konjugat kompleksnya [...] kita memiliki

zz* = (x+iy)(x-iy) = x2+y2 = r2 = |z|2

[...] Untuk produk dan hasil bagi dua bilangan kompleks z1 = r1 eiθ1 dan z2 = r2 eiθ2, kita memiliki

z1 z2 = r1 r2 ei(θ1+θ2),   z1z2 = r1r2 ei(θ1-θ2) (1.31)

[...] Kita sekarang mendapatkan rumus untuk akar ke-n dari bilangan 1. [...] Ada n akar ke-n kompleks yang berbeda dari kesatuan, dan mengambil n nilai berurutan dari bilangan bulat k memberikan kita semua:

ν = ei2πk/n,   k=0, 1, 2, &dots;, n-1 (1.36)

1.8 Satuan

Buku ini menggunakan **satuan SI**. Dalam Sistem Internasional (SI), satuan panjang, massa, dan waktu adalah **meter (m)**, **kilogram (kg)**, dan **detik (s)**. Gaya diukur dalam **newton (N)** dan energi dalam **joule (J)**. Hukum Coulomb untuk besarnya gaya antara dua muatan Q1 dan Q2 yang dipisahkan oleh jarak r dalam vakum ditulis dalam satuan SI sebagai

F = Q1 Q24π ε0 r2 (1.37)

di mana muatan Q1 dan Q2 dalam **coulomb (C)** dan ε0 adalah konstanta (disebut **permitivitas vakum** atau **konstanta listrik**) yang nilainya adalah 8.854 × 10-12 C2 N-1 m-2 (lihat Apendiks untuk nilai akurat konstanta fisik).

1.9 Kalkulus

Kalkulus banyak digunakan dalam kimia kuantum, dan rumus-rumus berikut, di mana c, n, dan b adalah konstanta dan f dan g adalah fungsi dari x, harus dihafal.

Turunan:
dcdx = 0,   d(cf)dx = c dfdx,   dxndx = nxn-1
decxdx = cecx,   d(\sin cx)dx = c \cos cx,   d(\cos cx)dx = -c \sin cx
d(\ln cx)dx = 1x
d(f+g)dx = dfdx + dgdx,   d(fg)dx = f dgdx + g dfdx
d(f/g)dx = d(fg-1)dx = -fg-2 dgdx + g-1 dfdx
ddx f(g(x)) = dfdg dgdx   (Aturan Rantai)
Contoh rumus terakhir adalah d[\sin(cx2)]/dx = 2cx \cos(cx2). Di sini, g(x)=cx2 dan f=\sin.

Integral Tak Tentu:
cf(x) dx = c f(x) dx
[f(x)+g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx
dx = x
xn dx = xn+1n+1   untuk n ≠ -1
1x dx = &ln; x
ecx dx = ecxc
sin cx dx = -cos cxc
cos cx dx = sin cxc

Integral Tentu:
bc f(x) dx = g(c) - g(b)   di mana dgdx = f(x)

Ringkasan

Keadaan sistem mekanika kuantum dijelaskan oleh **fungsi keadaan** atau **fungsi gelombang** Ψ, yang merupakan fungsi koordinat partikel-partikel sistem dan waktu. Fungsi keadaan berubah seiring waktu menurut **persamaan Schrödinger bergantung waktu**, yang untuk sistem satu partikel, satu dimensi adalah Persamaan (1.13). Untuk sistem seperti itu, kuantitas |Ψ(x, t)|2 dx memberikan **probabilitas** bahwa pengukuran posisi partikel pada waktu t akan menemukannya antara x dan x+dx. Fungsi keadaan **dinormalisasi** menurut -∞∞ |Ψ|2 dx = 1. Jika fungsi energi potensial sistem tidak bergantung pada t, maka sistem dapat berada dalam salah satu dari sejumlah **keadaan stasioner** dengan energi tetap. Untuk keadaan stasioner sistem satu partikel, satu dimensi, Ψ(x, t) = e-iEt/ℏ ψ(x), di mana **fungsi gelombang bebas waktu** ψ(x) adalah solusi dari **persamaan Schrödinger bebas waktu** (1.19).

Soal-soal

Jawaban untuk soal-soal numerik diberikan di akhir buku.

  • Bagian 1.2 Probs. 1.1–1.6
  • Bagian 1.4 Probs. 1.7–1.9
  • Bagian 1.5 Probs. 1.10–1.11
  • Bagian 1.6 Probs. 1.12–1.19
  • Bagian 1.7 Probs. 1.20–1.28
  • Bagian 1.8 Probs. 1.29–1.31
  • Bagian 1.9 Probs. 1.32–1.33
  1. Benar atau salah? (a) Semua foton memiliki energi yang sama. (b) Seiring dengan peningkatan frekuensi cahaya, panjang gelombangnya berkurang. (c) Jika cahaya violet dengan λ=400 nm tidak menyebabkan efek fotolistrik pada logam tertentu, maka pasti cahaya merah dengan λ=700 nm tidak akan menyebabkan efek fotolistrik pada logam tersebut.
  2. (a) Hitung energi satu foton radiasi inframerah yang panjang gelombangnya 1064 nm. (b) Laser Nd:YAG memancarkan pulsa radiasi 1064-nm dengan daya rata-rata 5 × 106 W dan durasi 2 × 10-8 s. Temukan jumlah foton yang dipancarkan dalam pulsa ini. (Ingat bahwa 1 W = 1 J/s.)
  3. Hitung energi satu mol foton UV dengan panjang gelombang 300 nm dan bandingkan dengan energi ikatan tunggal tipikal 400 kJ/mol.
  4. Fungsi kerja Na yang sangat murni adalah 2.75 eV, di mana 1 eV = 1.602 × 10-19 J. (a) Hitung energi kinetik maksimum fotoelektron yang dipancarkan dari Na yang terpapar radiasi ultraviolet 200 nm. (b) Hitung panjang gelombang terpanjang yang akan menyebabkan efek fotolistrik pada Na murni. (c) Fungsi kerja natrium yang belum dimurnikan dengan sangat hati-hati secara substansial kurang dari 2.75 eV, karena belerang yang teradsorpsi dan zat lain yang berasal dari gas atmosfer. Ketika Na yang tidak murni terpapar radiasi 200-nm, apakah energi kinetik maksimum fotoelektron akan kurang dari atau lebih besar dari yang untuk Na murni yang terpapar radiasi 200-nm?
  5. (a) Verifikasi bahwa pada frekuensi tinggi hukum Wien adalah perkiraan yang baik untuk persamaan benda hitam Planck. (b) Pada Juni 1900 Rayleigh menerapkan teorema ekuipartisi mekanika statistik klasik untuk menurunkan persamaan radiasi benda hitam yang menunjukkan intensitas radiasi sebanding dengan ν2 T. Pada tahun 1905, Jeans menunjukkan kesalahan dalam penurunan konstanta proporsionalitas Rayleigh dan mengoreksi rumus Rayleigh menjadi I = 2π ν2 kT/c2. Tunjukkan bahwa pada frekuensi rendah, rumus benda hitam Planck dapat didekati oleh rumus Rayleigh–Jeans. Petunjuk: Cari ekspansi deret Taylor dari ex dalam pangkat x. (Hasil Rayleigh–Jeans mekanika klasik secara fisik tidak masuk akal, karena memprediksi energi yang dipancarkan meningkat tanpa batas seiring dengan peningkatan ν.)
  6. Hitung panjang gelombang de Broglie elektron yang bergerak pada 1/137 kecepatan cahaya. (Pada kecepatan ini, koreksi relativistik terhadap massa dapat diabaikan.)
  7. Integrasikan persamaan dx/dt = -gt + gt0 + v0 dalam paragraf setelah Persamaan (1.11) untuk menemukan x sebagai fungsi waktu. Gunakan kondisi bahwa partikel berada di x0 pada waktu t0 untuk mengevaluasi konstanta integrasi dan tunjukkan bahwa x = x0 - &frac{1}{2}g(t-t0)2 + v0(t-t0).
  8. Sistem satu partikel, satu dimensi tertentu memiliki Ψ = ae-ibt e-bmx2/ℏ, di mana a dan b adalah konstanta dan m adalah massa partikel. Temukan fungsi energi potensial V untuk sistem ini. Petunjuk: Gunakan persamaan Schrödinger bergantung waktu.
  9. Benar atau salah? (a) Untuk semua keadaan mekanika kuantum, |Ψ(x, t)|2 = |ψ(x)|2. (b) Untuk semua keadaan mekanika kuantum, Ψ(x, t) adalah produk dari fungsi x dan fungsi t.
  10. Sistem satu partikel, satu dimensi tertentu memiliki energi potensial V = 2c2 ℏ2 x2/m dan berada dalam keadaan stasioner dengan ψ(x) = bxe-cx2, di mana b adalah konstanta, c=2.00 nm-2, dan m=1.00 × 10-27 g. Temukan energi partikel.
  11. Persamaan Schrödinger mana yang berlaku untuk semua sistem mekanika kuantum non-relativistik? (a) Hanya persamaan bergantung waktu. (b) Hanya persamaan bebas waktu. (c) Kedua persamaan bergantung waktu dan bebas waktu.
  12. Pada suatu waktu tertentu, sistem satu partikel, satu dimensi memiliki Ψ = (2/b3)1/2 x e-|x|/b, di mana b=3.000 nm. Jika pengukuran x dilakukan pada waktu ini dalam sistem, temukan probabilitas bahwa hasilnya (a) terletak antara 0.9000 nm dan 0.9001 nm (perlakukan interval ini sebagai infinitesimal); (b) terletak antara 0 dan 2 nm (gunakan tabel integral di Apendiks, jika perlu). (c) Untuk nilai x berapa densitas probabilitas minimum? (Tidak perlu menggunakan kalkulus untuk menjawab ini.) (d) Verifikasi bahwa Ψ ternormalisasi.
  13. Sistem satu partikel, satu dimensi memiliki fungsi keadaan Ψ = (\sin at)(2/\pi c2)1/4 e-x2/c2 + (\cos at)(32/\pi c6)1/4 x e-x2/c2 di mana a adalah konstanta dan c=2.000 Å. Jika posisi partikel diukur pada t=0, perkirakan probabilitas bahwa hasilnya akan terletak antara 2.000 Å dan 2.001 Å.
  14. Gunakan Persamaan (1.23) untuk menemukan jawaban bagian (a) dari contoh di akhir Bagian 1.6 dan bandingkan dengan jawaban perkiraan yang ditemukan dalam contoh.
  15. Fungsi mana dari fungsi-fungsi berikut yang memenuhi semua persyaratan fungsi densitas probabilitas (a dan b adalah konstanta positif)? (a) eiax; (b) xe-bx2; (c) e-bx2.
  16. (a) Frank dan Phyllis Eisenberg memiliki dua anak; mereka memiliki setidaknya satu anak perempuan. Berapa probabilitas bahwa kedua anak mereka adalah perempuan? (b) Bob dan Barbara Shrodinger memiliki dua anak. Anak yang lebih tua adalah perempuan. Berapa probabilitas anak yang lebih muda adalah perempuan? (Asumsikan kemungkinan melahirkan anak laki-laki atau perempuan adalah sama.)
  17. Jika puncak dalam spektrum massa C2F6 pada nomor massa 138 setinggi 100 unit, hitung tinggi puncak pada nomor massa 139 dan 140. Kelimpahan isotop: 12C, 98.89%; 13C, 1.11%; 19F, 100%.
  18. Dalam bridge, setiap empat pemain (A, B, C, D) menerima 13 kartu. Misalkan A dan C memiliki 11 dari 13 sekop di antara mereka. Berapa probabilitas bahwa dua sekop yang tersisa didistribusikan sehingga B dan D masing-masing memiliki satu sekop?
  19. Fungsi densitas probabilitas penting apa yang muncul dalam (a) teori kinetik gas? (b) analisis kesalahan pengukuran acak?
  20. Klasifikasikan masing-masing berikut sebagai bilangan riil atau bilangan imajiner: (a) -17; (b) 2+i; (c) &sqrt;27; (d) &sqrt;-1; (e) &sqrt;-6; (f) 2/3; (g) π; (h) i2; (i) (a+bi)(a-bi), di mana a dan b adalah bilangan riil.
  21. Plot titik-titik ini dalam bidang kompleks: (a) 3; (b) -i; (c) -2+3i.
  22. Tunjukkan bahwa 1/i = -i.
  23. Sederhanakan (a) i2; (b) i3; (c) i4; (d) i*i; (e) (1+5i)(2-3i); (f) (1-3i)/(4+2i). Petunjuk: Dalam (f), kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat kompleks dari penyebut.
  24. Temukan konjugat kompleks dari (a) -4; (b) -2i; (c) 6+3i; (d) 2e-iπ/5.
  25. Temukan nilai absolut dan fase dari (a) i; (b) 2eiπ/3; (c) -2eiπ/3; (d) 1-2i.
  26. Di mana dalam bidang kompleks semua titik yang nilai absolutnya 5 berada? Di mana semua titik dengan fase π/4 berada?
  27. Tulis masing-masing berikut dalam bentuk reiθ: (a) i; (b) -1; (c) 1-2i; (d) -1-i.
  28. (a) Temukan akar kubik dari 1. (b) Jelaskan mengapa n akar ke-n dari 1 ketika diplot dalam bidang kompleks terletak pada lingkaran berjari-jari 1 dan dipisahkan oleh sudut 2π/n satu sama lain.
  29. Verifikasi bahwa \sin θ = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}, \cos θ = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}.
  30. Ekspresikan masing-masing satuan berikut dalam satuan dasar SI (m, kg, s): (a) newton; (b) joule.
  31. Hitung gaya pada partikel alfa yang melewati inti atom emas pada jarak 0.00300 Å.
  32. Temukan (a) d[2x2 \sin(3x4)+5]/dx; (b) \int12 (1/(3x2)+1) dx.
  33. Benar atau salah? (a) Densitas probabilitas tidak pernah bisa negatif. (b) Fungsi keadaan \Psi tidak pernah bisa negatif. (c) Fungsi keadaan \Psi harus merupakan fungsi riil. (d) Jika z=z*, maka z harus bilangan riil. (e) \int-∞∞ |Ψ|2 dx = 1 untuk sistem satu partikel, satu dimensi. (f) Produk bilangan dan konjugat kompleksnya selalu bilangan riil.

Daftar Pustaka

  1. S. G. Brush, "Why Was Planck's Quantum Hypothesis Ignored?", Am. J. Phys., vol. 70, no. 2, pp. 119–125, 2002. (Tersedia daring di www.punsterproductions.com/~sciencehistory/cautious.htm)
  2. O. Darrigol, "The Genesis of the Quantum Theory (1899-1913)", Centaurus, vol. 43, no. 3, pp. 219–242, 2001.
  3. P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics. Oxford University Press.
  4. R. P. Feynman, "Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics", Rev. Mod. Phys., vol. 20, no. 2, pp. 367–387, 1948.
  5. R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals. McGraw-Hill, 1965.
  6. C. A. Gearhart, "Planck, the Quantum, and the Historians", Phys. Perspect., vol. 4, no. 2, pp. 170–211, 2002. (Tersedia daring di employees.csbsju.edu/cgearhart/Planck/PQH.pdf)
  7. S. Hawking, A Brief History of Time. Bantam, 1988.
  8. M. Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics. McGraw-Hill, 1966.
  9. T. Juffmann et al., "Wave-particle duality of C60 molecules", Nat. Nanotechnol., vol. 7, no. 5, pp. 297–300, 2012.
  10. H. Kragh, "Planck's Quantum", Physics World, vol. 13, no. 12, p. 31, Dec. 2000.
  11. J. J. Lissauer, "Chaos in the Solar System", Rev. Mod. Phys., vol. 71, no. 4, pp. 835–848, 1999.
  12. I. Peterson, Newton's Clock: Chaos in the Solar System. Freeman, 1993.